Из 50 студентов 21 изучают английский, 22 – немецкий, 20 – французский, 8 – английский и немецкий, 9...

(a) Для того чтобы найти количество студентов, изучающих только английский язык, нужно вычесть из общего числа студентов, изучающих английский язык, количество студентов, изучающих английский и другие языки, а также тех, кто изучает все три языка. Изучают английский: 21 студент Изучают английский и немецкий: 8 студентов Изучают английский и французский: 7 студентов Изучают все три языка: 3 студента

21 - 8 - 7 + 3 = 9 студентов изучают только английский язык.

(b) Аналогичным образом, чтобы найти количество студентов, изучающих только немецкий язык, нужно вычесть из общего числа студентов, изучающих немецкий язык, количество студентов, изучающих немецкий и другие языки, а также тех, кто изучает все три языка. Изучают немецкий: 22 студента Изучают немецкий и английский: 8 студентов Изучают немецкий и французский: 9 студентов Изучают все три языка: 3 студента

22 - 8 - 9 + 3 = 8 студентов изучают только немецкий язык.

(c) Для студентов, изучающих только французский язык, проведем аналогичные вычисления. Изучают французский: 20 студентов Изучают французский и английский: 7 студентов Изучают французский и немецкий: 9 студентов Изучают все три языка: 3 студента

20 - 7 - 9 + 3 = 7 студентов изучают только французский язык.

(d) Для нахождения количества студентов, не изучающих ни один из указанных языков, нужно вычесть из общего числа студентов (50) количество студентов, изучающих хотя бы один язык. 50 - (9 + 8 + 8 + 7 + 7 + 9 + 3) = 50 - 43 = 7 студентов не изучают ни один из указанных языков.

Для решения задачи будем использовать принцип включения-исключения.

Обозначим:

• (A) — множество студентов, изучающих английский язык.
• (B) — множество студентов, изучающих немецкий язык.
• (C) — множество студентов, изучающих французский язык.

Из условия задачи:

• (|A| = 21)
• (|B| = 22)
• (|C| = 20)
• (|A \cap B| = 8)
• (|B \cap C| = 9)
• (|A \cap C| = 7)
• (|A \cap B \cap C| = 3)

(a) Сколько студентов изучают только английский язык?

Студенты, изучающие только английский язык, это те, кто изучает английский, но не изучает ни немецкий, ни французский. То есть:

[ |A - (B \cup C)| = |A| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| ]

Подставим значения:

[ |A - (B \cup C)| = 21 - 8 - 7 + 3 = 9 ]

(b) Сколько студентов изучают только немецкий язык?

Студенты, изучающие только немецкий язык, это те, кто изучает немецкий, но не изучает ни английский, ни французский. То есть:

[ |B - (A \cup C)| = |B| - |B \cap A| - |B \cap C| + |B \cap A \cap C| ]

Подставим значения:

[ |B - (A \cup C)| = 22 - 8 - 9 + 3 = 8 ]

(c) Сколько студентов изучают только французский язык?

Студенты, изучающие только французский язык, это те, кто изучает французский, но не изучает ни английский, ни немецкий. То есть:

[ |C - (A \cup B)| = |C| - |C \cap A| - |C \cap B| + |C \cap A \cap B| ]

Подставим значения:

[ |C - (A \cup B)| = 20 - 7 - 9 + 3 = 7 ]

(d) Сколько студентов не изучают ни один из указанных языков?

Применим принцип включения-исключения для всех трёх множеств (A), (B) и (C):

[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| ]

Подставим значения:

[ |A \cup B \cup C| = 21 + 22 + 20 - 8 - 9 - 7 + 3 = 42 ]

Теперь найдём количество студентов, не изучающих ни один из языков:

[ 50 - |A \cup B \cup C| = 50 - 42 = 8 ]

Ответы:

(a) 9 студентов изучают только английский язык. (b) 8 студентов изучают только немецкий язык. (c) 7 студентов изучают только французский язык. (d) 8 студентов не изучают ни один из указанных языков.

(a) 6 студентов изучают только английский язык. (b) 7 студентов изучают только немецкий язык. (c) 6 студентов изучают только французский язык. (d) 8 студентов не изучают ни один из указанных языков.