Исследуйте на максимум и минимум функцию : f(x)=x^4-8x^2

Для того чтобы найти максимум и минимум функции f(x) = x^4 - 8x^2, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю, чтобы найти точки экстремума.

f'(x) = 4x^3 - 16x = 0

После упрощения уравнения, получаем:

4x(x^2 - 4) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x: x = 0 и x = ±2.

Теперь необходимо провести исследование знаков производной в окрестностях найденных точек. Для этого можно составить таблицу знаков производной:

x | -∞ | -2 | 0 | 2 | +∞ f'(x) | + | - | 0 | + | +

Из таблицы видно, что при x = -2 функция имеет локальный максимум, а при x = 2 - минимум.

Таким образом, у функции f(x) = x^4 - 8x^2 есть локальный максимум при x = -2 и локальный минимум при x = 2.

Для исследования функции f(x)=x^4-8x^2 на максимум и минимум нужно найти ее производную, приравнять ее к нулю и найти точки экстремума. Далее, с помощью второй производной проверить их тип (максимум или минимум).

Для исследования функции ( f(x) = x^4 - 8x^2 ) на максимумы и минимумы начнем с нахождения первой производной и ее критических точек.

1. Находим первую производную: [ f'(x) = 4x^3 - 16x. ]

2. Находим критические точки, решая уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 4x^3 - 16x = 0 ] [ 4x(x^2 - 4) = 0 ] [ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 ] Критические точки: ( x = 0, x = 2, x = -2 ).

3. Исследуем знаки производной в интервалах между критическими точками для определения характера экстремумов:

   • При ( x < -2 ), подставим ( x = -3 ) в ( f'(x) ), получим ( 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 ) (отрицательно).
   • Между ( x = -2 ) и ( x = 0 ), подставим ( x = -1 ), получим ( 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 ) (положительно).
   • Между ( x = 0 ) и ( x = 2 ), подставим ( x = 1 ), получим ( 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 ) (отрицательно).
   • При ( x > 2 ), подставим ( x = 3 ), получим ( 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 ) (положительно).

Из этого следует:

• В ( x = -2 ) функция переходит от убывания к возрастанию, значит, ( x = -2 ) точка локального минимума.
• В ( x = 0 ) функция переходит от возрастания к убыванию, значит, ( x = 0 ) точка локального максимума.
• В ( x = 2 ) функция снова переходит от убывания к возрастанию, значит, ( x = 2 ) точка локального минимума.

1. Вычислим значения функции в критических точках:
   • ( f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 = 16 - 32 = -16 ) (минимум)
   • ( f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 = 0 ) (максимум)
   • ( f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 = 16 - 32 = -16 ) (минимум)

Таким образом, функция имеет локальные минимумы в точках ( x = -2 ) и ( x = 2 ) со значением функции ( -16 ), и локальный максимум в точке ( x = 0 ) со значением функции ( 0 ).