Исследуйте функцию y=x^4-2x^2-3 на монотонность и экстремумы и постройте ее график

Шаг 1: Нахождение производной

Для исследования функции ( y = x^4 - 2x^2 - 3 ) на монотонность и экстремумы сначала найдем ее производную. Производная данной функции:

[ y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x ]

Шаг 2: Решение уравнения ( y' = 0 )

Для нахождения критических точек, решим уравнение:

[ 4x^3 - 4x = 0 ]

Выносим общий множитель:

[ 4x(x^2 - 1) = 0 ]

Решаем уравнение:

[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 1 = 0 ] [ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 ]

Шаг 3: Исследование знаков производной

Определим знаки производной в интервалах, разделенных найденными критическими точками:

• ( x \in (-\infty, -1) )
• ( x \in (-1, 0) )
• ( x \in (0, 1) )
• ( x \in (1, \infty) )

Подставим тестовые точки из каждого интервала в ( y' ):

• При ( x = -2 ): ( y' = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 ) (отрицательно)
• При ( x = -0.5 ): ( y' = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 ) (положительно)
• При ( x = 0.5 ): ( y' = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 ) (отрицательно)
• При ( x = 2 ): ( y' = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 ) (положительно)

Шаг 4: Определение монотонности и экстремумов

Из анализа знаков производной следует:

• Функция убывает на ( (-\infty, -1) ) и ( (0, 1) ).
• Функция возрастает на ( (-1, 0) ) и ( (1, \infty) ).
• Точка ( x = -1 ) — точка минимума, ( y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 ).
• Точка ( x = 0 ) — точка максимума, ( y(0) = 0^4 - 2*0^2 - 3 = -3 ).
• Точка ( x = 1 ) — точка минимума, ( y(1) = 1^4 - 2*1^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 ).

Шаг 5: Построение графика

График функции ( y = x^4 - 2x^2 - 3 ) можно нарисовать, учитывая полученные точки экстремумов и изменения монотонности:

1. График имеет вид "W", что типично для полиномов четвертой степени с двумя точками минимума и одной максимума.
2. Ветви графика уходят в бесконечность вверх по мере увеличения ( |x| ).
3. Точки минимума находятся в ( x = -1 ) и ( x = 1 ) с ( y = -4 ), максимум в ( x = 0 ) с ( y = -3 ).

Для точного построения графика можно использовать программное обеспечение для построения графиков или графический калькулятор.

Для исследования монотонности и экстремумов функции y=x^4-2x^2-3 сначала найдем ее производную: y' = 4x^3 - 4x

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 4x^3 - 4x = 0 4x(x^2 - 1) = 0 4x(x-1)(x+1) = 0 Таким образом, x=0, x=1 и x=-1 - кандидаты на экстремумы.

Теперь определим знак производной в окрестности найденных точек: При x < -1: y' < 0, значит функция убывает. При -1 < x < 0: y' > 0, значит функция возрастает. При 0 < x < 1: y' < 0, значит функция убывает. При x > 1: y' > 0, значит функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (0, 1), и возрастает на интервалах (-1, 0) и (1, +∞).

Теперь найдем значения функции в точках экстремума: y(0) = -3 y(1) = -4 y(-1) = -4

Таким образом, найденные точки экстремума являются точками минимума функции.

Теперь построим график функции y=x^4-2x^2-3, учитывая полученные результаты: функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (0, 1), и возрастает на интервалах (-1, 0) и (1, +∞), а также имеет точки минимума в точках (-1, -4), (0, -3) и (1, -4).