Для исследования функции на экстремумы необходимо выполнить несколько шагов:
Найти первую производную функции.
Первая производная функции по будет:
Найти критические точки.
Критические точки находятся из условия, когда первая производная равна нулю или не существует. В данном случае первая производная существует для всех , поэтому решаем уравнение:
Вынесем общий множитель:
Отсюда получаем два уравнения:
Таким образом, критические точки: и .
Исследовать знаки первой производной в окрестностях критических точек.
Для этого достаточно выбрать значения из интервалов, разделенных критическими точками, и подставить их в первую производную:
Для интервала ), выберем :
Для интервала ), выберем :
Для интервала ), выберем :
Определить характер критических точек.
- В точке , производная меняет знак с положительного на положительный, следовательно, это не является экстремумом.
- В точке , производная меняет знак с положительного на отрицательный. Это указывает на наличие локального максимума.
Найти значения функции в критических точках.
Таким образом, функция имеет локальный максимум в точке с значением . В точке экстремума нет.