Исследуйте функцию y=8x^3 - 3x^4 - 7 на максимум и минимум. Срооочно,помогите пожалуйста !

Для исследования функции y=8x^3 - 3x^4 - 7 на максимум и минимум необходимо найти ее производные и точки экстремума.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 24x^2 - 12x^3

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: 24x^2 - 12x^3 = 0 12x^2(2 - x) = 0 x = 0 или x = 2

3. Для нахождения типа экстремума проанализируем знаки производной в окрестности найденных точек:

   • При x < 0: y' < 0, следовательно, функция убывает
   • При 0 < x < 2: y' > 0, следовательно, функция возрастает
   • При x > 2: y' < 0, следовательно, функция убывает

4. Таким образом, точка x = 2 является точкой локального максимума, а функция достигает минимума в точке x = 0.

Ответ: функция y=8x^3 - 3x^4 - 7 имеет локальный максимум в точке (2, -23) и минимум в точке (0, -7).

Для исследования функции ( y = 8x^3 - 3x^4 - 7 ) на экстремумы (максимумы и минимумы) необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти первую производную функции.

   Первая производная функции ( y ) по ( x ) будет: [ y' = \frac{d}{dx}(8x^3 - 3x^4 - 7) = 24x^2 - 12x^3 ]

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся из условия, когда первая производная равна нулю или не существует. В данном случае первая производная существует для всех ( x ), поэтому решаем уравнение: [ 24x^2 - 12x^3 = 0 ] Вынесем общий множитель: [ 12x^2(2 - x) = 0 ] Отсюда получаем два уравнения: [ 12x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 ] [ 2 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 ]

   Таким образом, критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

3. Исследовать знаки первой производной в окрестностях критических точек.

   Для этого достаточно выбрать значения из интервалов, разделенных критическими точками, и подставить их в первую производную:

   • Для интервала ( (-\infty, 0) ), выберем ( x = -1 ): [ y'(-1) = 24(-1)^2 - 12(-1)^3 = 24 + 12 = 36 > 0 ]

   • Для интервала ( (0, 2) ), выберем ( x = 1 ): [ y'(1) = 24(1)^2 - 12(1)^3 = 24 - 12 = 12 > 0 ]

   • Для интервала ( (2, +\infty) ), выберем ( x = 3 ): [ y'(3) = 24(3)^2 - 12(3)^3 = 216 - 324 = -108 < 0 ]

4. Определить характер критических точек.

   • В точке ( x = 0 ), производная меняет знак с положительного на положительный, следовательно, это не является экстремумом.
   • В точке ( x = 2 ), производная меняет знак с положительного на отрицательный. Это указывает на наличие локального максимума.

5. Найти значения функции в критических точках.

   • Для ( x = 0 ): [ y(0) = 8(0)^3 - 3(0)^4 - 7 = -7 ]

   • Для ( x = 2 ): [ y(2) = 8(2)^3 - 3(2)^4 - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 ]

Таким образом, функция имеет локальный максимум в точке ( x = 2 ) с значением ( y = 9 ). В точке ( x = 0 ) экстремума нет.