Исследуйте функцию y=8x^3 - 3x^4 - 7 на максимум и минимум. Срооочно,помогите пожалуйста !

Тематика Алгебра
Уровень 10 - 11 классы
исследование функции максимум минимум производная критические точки экстремумы математика анализ функций
0

Исследуйте функцию y=8x^3 - 3x^4 - 7 на максимум и минимум. Срооочно,помогите пожалуйста !

avatar
задан 4 месяца назад

2 Ответа

0

Для исследования функции y=8x^3 - 3x^4 - 7 на максимум и минимум необходимо найти ее производные и точки экстремума.

  1. Найдем производную функции y по x: y' = 24x^2 - 12x^3

  2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: 24x^2 - 12x^3 = 0 12x^22x = 0 x = 0 или x = 2

  3. Для нахождения типа экстремума проанализируем знаки производной в окрестности найденных точек:

    • При x < 0: y' < 0, следовательно, функция убывает
    • При 0 < x < 2: y' > 0, следовательно, функция возрастает
    • При x > 2: y' < 0, следовательно, функция убывает
  4. Таким образом, точка x = 2 является точкой локального максимума, а функция достигает минимума в точке x = 0.

Ответ: функция y=8x^3 - 3x^4 - 7 имеет локальный максимум в точке 2,23 и минимум в точке 0,7.

avatar
ответил 4 месяца назад
0

Для исследования функции y=8x33x47 на экстремумы максимумыиминимумы необходимо выполнить несколько шагов:

  1. Найти первую производную функции.

    Первая производная функции y по x будет: y=ddx(8x33x47)=24x212x3

  2. Найти критические точки.

    Критические точки находятся из условия, когда первая производная равна нулю или не существует. В данном случае первая производная существует для всех x, поэтому решаем уравнение: 24x212x3=0 Вынесем общий множитель: 12x2(2x)=0 Отсюда получаем два уравнения: 12x2=0x=0 2x=0x=2

    Таким образом, критические точки: x=0 и x=2.

  3. Исследовать знаки первой производной в окрестностях критических точек.

    Для этого достаточно выбрать значения из интервалов, разделенных критическими точками, и подставить их в первую производную:

    • Для интервала (,0 ), выберем x=1: y(1)=24(1)212(1)3=24+12=36>0

    • Для интервала (0,2 ), выберем x=1: y(1)=24(1)212(1)3=2412=12>0

    • Для интервала (2,+ ), выберем x=3: y(3)=24(3)212(3)3=216324=108<0

  4. Определить характер критических точек.

    • В точке x=0, производная меняет знак с положительного на положительный, следовательно, это не является экстремумом.
    • В точке x=2, производная меняет знак с положительного на отрицательный. Это указывает на наличие локального максимума.
  5. Найти значения функции в критических точках.

    • Для x=0: y(0)=8(0)33(0)47=7

    • Для x=2: y(2)=8(2)33(2)47=64487=9

Таким образом, функция имеет локальный максимум в точке x=2 с значением y=9. В точке x=0 экстремума нет.

avatar
ответил 4 месяца назад

Ваш ответ

Вопросы по теме