Исследуйте функцию y=8x^3 - 3x^4 - 7 на максимум и минимум. Срооочно,помогите пожалуйста !

Для исследования функции y=8x^3 - 3x^4 - 7 на максимум и минимум необходимо найти ее производные и точки экстремума.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 24x^2 - 12x^3

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: 24x^2 - 12x^3 = 0 12x^2$2-x$ = 0 x = 0 или x = 2

3. Для нахождения типа экстремума проанализируем знаки производной в окрестности найденных точек:

   • При x < 0: y' < 0, следовательно, функция убывает
   • При 0 < x < 2: y' > 0, следовательно, функция возрастает
   • При x > 2: y' < 0, следовательно, функция убывает

4. Таким образом, точка x = 2 является точкой локального максимума, а функция достигает минимума в точке x = 0.

Ответ: функция y=8x^3 - 3x^4 - 7 имеет локальный максимум в точке $2,-23$ и минимум в точке $0,-7$.

Для исследования функции $y=8x^3-3x^4-7$ на экстремумы $максимумыиминимумы$ необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти первую производную функции.

   Первая производная функции $y$ по $x$ будет: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(8x^3-3x^4-7)=24x^2-12x^3$

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся из условия, когда первая производная равна нулю или не существует. В данном случае первая производная существует для всех $x$, поэтому решаем уравнение: $24x^2-12x^3=0$ Вынесем общий множитель: $12x^2(2-x)=0$ Отсюда получаем два уравнения: $12x^2=0\Rightarrow x=0$ $2-x=0\Rightarrow x=2$

   Таким образом, критические точки: $x=0$ и $x=2$.

3. Исследовать знаки первой производной в окрестностях критических точек.

   Для этого достаточно выбрать значения из интервалов, разделенных критическими точками, и подставить их в первую производную:

   • Для интервала $(-\mathrm{\infty },0$ ), выберем $x=-1$: $y^{\prime }(-1)=24(-1{)}^2-12(-1{)}^3=24+12=36>0$

   • Для интервала $(0,2$ ), выберем $x=1$: $y^{\prime }(1)=24(1{)}^2-12(1{)}^3=24-12=12>0$

   • Для интервала $(2,+\mathrm{\infty }$ ), выберем $x=3$: $y^{\prime }(3)=24(3{)}^2-12(3{)}^3=216-324=-108<0$

4. Определить характер критических точек.

   • В точке $x=0$, производная меняет знак с положительного на положительный, следовательно, это не является экстремумом.
   • В точке $x=2$, производная меняет знак с положительного на отрицательный. Это указывает на наличие локального максимума.

5. Найти значения функции в критических точках.

   • Для $x=0$: $y(0)=8(0{)}^3-3(0{)}^4-7=-7$

   • Для $x=2$: $y(2)=8(2{)}^3-3(2{)}^4-7=64-48-7=9$

Таким образом, функция имеет локальный максимум в точке $x=2$ с значением $y=9$. В точке $x=0$ экстремума нет.