Исследуйте функцию у= 3х-х^3 на монотонность и экстремумы и постройте график

Для исследования функции ( y = 3x - x^3 ) на монотонность и экстремумы, а также для построения графика выполним следующие шаги:

1. Находим производную функции: [ y' = 3 - 3x^2 ]

2. Определяем критические точки, приравнивая производную к нулю: [ 3 - 3x^2 = 0 ] [ 3x^2 = 3 ] [ x^2 = 1 ] [ x = \pm 1 ]

3. Исследуем знак производной для определения интервалов монотонности:

   • Подставим значение ( x ) меньше -1, например ( x = -2 ): [ y'(-2) = 3 - 3(-2)^2 = 3 - 12 = -9 ] (производная отрицательная)
   • Между -1 и 1, например ( x = 0 ): [ y'(0) = 3 - 3(0)^2 = 3 ] (производная положительная)
   • Больше 1, например ( x = 2 ): [ y'(2) = 3 - 3(2)^2 = 3 - 12 = -9 ] (производная отрицательная)

   Из этого следует:

   • Функция убывает на интервале ( (-\infty, -1] )
   • Функция возрастает на интервале ( [-1, 1] )
   • Функция убывает на интервале ( [1, \infty) )

4. Определение экстремумов:

   • В точке ( x = -1 ), производная меняет знак с "-" на "+", значит это точка минимума. Подставим в функцию: [ y(-1) = 3(-1) - (-1)^3 = -3 + 1 = -2 ]
   • В точке ( x = 1 ), производная меняет знак с "+" на "-", значит это точка максимума. Подставим в функцию: [ y(1) = 3(1) - (1)^3 = 3 - 1 = 2 ]

5. Построение графика: График функции ( y = 3x - x^3 ) имеет вид кубической кривой с точкой минимума ((-1, -2)) и максимума ((1, 2)). Функция симметрична относительно начала координат из-за нечетной степени ( x ) и коэффициентов.

   График начинает в бесконечности в левой части, опускается до минимума в точке ((-1, -2)), поднимается до максимума в точке ((1, 2)), и снова убывает в бесконечность в правой части.

Для построения графика можно воспользоваться графическим калькулятором или программным обеспечением по алгебре, таким как Desmos, GeoGebra и другими.

Исследование функции y = 3x - x^3 на монотонность и экстремумы показывает, что функция монотонно убывает на интервалах (-∞, 0) и (1, +∞), и монотонно возрастает на интервале (0, 1). Экстремумы функции находятся в точках (0, 0) и (1, 2). График функции представлен ниже.

Для исследования монотонности и экстремумов функции у= 3x - x^3 сначала найдем производную этой функции.

У'(x) = 3 - 3x^2

Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3 - 3x^2 = 0 3x^2 = 3 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, точки экстремума функции у= 3x - x^3 равны x = -1 и x = 1.

Далее проанализируем знак производной в окрестностях точек экстремума. При x < -1: У'(x) > 0, значит функция возрастает на этом интервале. При -1 < x < 1: У'(x) < 0, значит функция убывает на этом интервале. При x > 1: У'(x) > 0, значит функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, функция у= 3x - x^3 возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, ∞), и убывает на интервале (-1, 1).

Теперь построим график функции у= 3x - x^3, используя полученную информацию о монотонности и точках экстремума.