Исследуйте функцию и постройте её график у=х^2+2х-3

Для исследования функции y = x^2 + 2x - 3 сначала определим область значений и область определения. Функция является квадратичной, поэтому ее областью определения будет множество всех действительных чисел (R).

Для нахождения вершины параболы и направления выпуклости, воспользуемся формулой -b/2a для нахождения x-координаты вершины функции. В данном случае a=1, b=2, c=-3. x = -b/2a = -2/(21) = -1 Подставим x=-1 в уравнение функции, чтобы найти y-координату вершины: y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, -4).

Также, для построения графика функции у = x^2 + 2x - 3, определим ее поведение при увеличении и уменьшении x. После нахождения вершины параболы, можем сказать, что функция имеет ветви, направленные вверх (парабола с ветвями вверх).

Теперь построим график функции, используя найденные данные. Вершина параболы (-1, -4), ветви направлены вверх.

График функции y = x^2 + 2x - 3 будет иметь форму параболы, направленной вверх, с вершиной в точке (-1, -4).

Для исследования функции ( y = x^2 + 2x - 3 ) и построения её графика, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найдите основные характеристики функции:

a. Определите область определения:

Функция ( y = x^2 + 2x - 3 ) определена на всей числовой оси, то есть ( x \in (-\infty, +\infty) ).

b. Найдите координаты вершины параболы:

Функция является квадратичной и имеет вид ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -3 ). Вершина параболы находится по формуле: [ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times 1} = -1. ] Подставим ( x_v ) в уравнение функции для нахождения ( y_v ): [ y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4. ] Таким образом, вершина параболы имеет координаты ( (-1, -4) ).

c. Определите направление ветвей:

Коэффициент ( a = 1 ) положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

d. Найдите пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Oy: Для ( x = 0 ), ( y = 0^2 + 2 \times 0 - 3 = -3 ). Точка пересечения: ( (0, -3) ).

• Пересечения с осью Ox (нулевые точки): Решим уравнение ( x^2 + 2x - 3 = 0 ) методом дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16. ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}. ] [ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3. ] Точки пересечения: ( (1, 0) ) и ( (-3, 0) ).

2. Постройте график функции:

График функции ( y = x^2 + 2x - 3 ) представляет собой параболу с вершиной в точке ( (-1, -4) ) и направленными вверх ветвями. Парабола пересекает ось Oy в точке ( (0, -3) ) и ось Ox в точках ( (1, 0) ) и ( (-3, 0) ).

3. Исследуйте монотонность и экстремумы:

• Монотонность: Производная функции: [ y' = 2x + 2. ] Найдем критическую точку, где ( y' = 0 ): [ 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1. ] Для ( x < -1 ), ( y' < 0 ) — функция убывает. Для ( x > -1 ), ( y' > 0 ) — функция возрастает.

• Экстремум: В точке ( x = -1 ) функция достигает минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс. Минимальное значение функции равно ( -4 ).

Итог:

График функции ( y = x^2 + 2x - 3 ) — это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке ( (-1, -4) ), пересекающая ось Ox в точках ( (1, 0) ) и ( (-3, 0) ), и ось Oy в точке ( (0, -3) ). На интервале ( (-\infty, -1) ) функция убывает, а на ( (-1, +\infty) ) возрастает.

Для исследования функции y=x^2+2x-3 нужно найти её производную, найти точки экстремума, определить выпуклость и построить график.