исследуйте функцию и постройте её график f(x)=x^4-8x^2
исследуйте функцию и постройте её график f(x)=x^4-8x^2
Для исследования функции f(x)=x^4-8x^2 необходимо найти её производные, нули, точки экстремума, интервалы возрастания и убывания, а также провести анализ поведения функции на бесконечностях. После этого можно построить график функции, отражающий её основные характеристики.
Исследуем функцию ( f(x) = x^4 - 8x^2 ) и построим её график.
Область определения: Функция ( f(x) = x^4 - 8x^2 ) определена на всей числовой оси, т.е. ( x \in \mathbb{R} ).
Нули функции: Рассмотрим уравнение ( f(x) = 0 ): [ x^4 - 8x^2 = 0 ] Вынесем общий множитель за скобки: [ x^2 (x^2 - 8) = 0 ] Решим уравнение: [ x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 ] [ x^2 - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} ] Таким образом, нули функции: ( x = 0, \pm 2\sqrt{2} ).
Поведение на бесконечности: Анализируем поведение функции при ( x \to \pm \infty ): [ \lim_{x \to \pm \infty} (x^4 - 8x^2) = \infty ] Так как старший член ( x^4 ) доминирует над ( -8x^2 ), функция ( f(x) ) стремится к бесконечности при ( x \to \pm \infty ).
Проверка симметрии: Функция ( f(x) ) является четной, так как: [ f(-x) = (-x)^4 - 8(-x)^2 = x^4 - 8x^2 = f(x) ] Следовательно, график функции симметричен относительно оси ( y ).
Производная функции. Критические точки: Найдем первую производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2) = 4x^3 - 16x ] Найдем критические точки, решив уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 4x^3 - 16x = 0 ] Вынесем общий множитель за скобки: [ 4x(x^2 - 4) = 0 ] Решим уравнение: [ x = 0 ] [ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 ] Критические точки: ( x = -2, 0, 2 ).
Вторая производная. Исследование на экстремумы и выпуклость: Найдем вторую производную функции: [ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 ] Исследуем знак второй производной в критических точках: [ f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{положительное значение}) ] [ f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \quad (\text{отрицательное значение}) ] [ f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{положительное значение}) ]
Таким образом, в точке ( x = 0 ) функция имеет максимум, а в точках ( x = -2 ) и ( x = 2 ) — минимумы.
Значения функции в критических точках: [ f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 = 16 - 32 = -16 ] [ f(0) = 0^4 - 8(0)^2 = 0 ] [ f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 = 16 - 32 = -16 ]
Интервалы монотонности:
Построение графика: Теперь у нас есть достаточно информации для построения графика функции ( f(x) = x^4 - 8x^2 ):
График функции ( f(x) = x^4 - 8x^2 ) имеет форму, напоминающую параболу с двумя минимумами и одним максимумом, симметричную относительно оси ( y ).
Для начала найдем производные функции f(x)=x^4-8x^2. f'(x) = 4x^3 - 16x f''(x) = 12x^2 - 16
Чтобы найти экстремумы функции, приравняем первую производную к нулю и найдем точки, в которых она равна нулю: 4x^3 - 16x = 0 4x(x^2 - 4) = 0 4x(x + 2)(x - 2) = 0
Таким образом, получаем x = 0, x = -2, x = 2. Подставляя найденные значения x обратно в исходную функцию, получаем соответственно точки экстремума f(0) = 0, f(-2) = 16, f(2) = 16.
Теперь найдем точки перегиба функции, приравняв вторую производную к нулю: 12x^2 - 16 = 0 12x^2 = 16 x^2 = 16/12 x^2 = 4/3 x = ± √(4/3)
Таким образом, получаем x = √(4/3), x = -√(4/3). Подставляя эти значения обратно в исходную функцию, можно найти соответствующие точки перегиба.
Далее, построим график функции f(x)=x^4-8x^2. Построение графика позволит наглядно представить поведение функции на всей области определения и выделить особенности, такие как экстремумы и точки перегиба.
