Исследуйте функцию f(x)=x^3-3x^2+2 и постройте график

Для исследования функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производные функции f(x) и найти точки экстремума и точки перегиба.
2. Найти нули функции f(x) и точки пересечения с осями координат.

3. Построить график функции f(x) на основе полученной информации.

4. Найдем производные функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 6x f''(x) = 6x - 6

Для нахождения точек экстремума и точек перегиба приравняем производные к нулю: 3x^2 - 6x = 0 x(3x - 6) = 0 x = 0 или x = 2

f''(0) = -6, f''(2) = 6 Точка (0, 2) - точка перегиба, точка (2, -2) - точка экстремума.

1. Найдем нули функции f(x) и точки пересечения с осями координат: x^3 - 3x^2 + 2 = 0 (x - 1)(x^2 - 2x - 2) = 0 x = 1, x = 1 + √3, x = 1 - √3

Точки пересечения с осями координат: (1, 0), (1 + √3, 0), (1 - √3, 0)

1. Построим график функции f(x) на основе полученной информации:
   • На графике будут отмечены точки экстремума, точка перегиба и точки пересечения с осями координат.
   • График функции будет проходить через данные точки и иметь соответствующую форму кубической функции.

Таким образом, исследовав функцию f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 и построив её график, мы получим полное представление о её поведении и особенностях.

Для исследования функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ) необходимо выполнить несколько шагов: найти область определения, точки пересечения с осями координат, промежутки возрастания и убывания, экстремумы, а также определить поведение функции на концах области определения.

1. Область определения: Функция ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ) определена на всей числовой прямой, то есть ( x \in (-\infty, +\infty) ).

2. Точки пересечения с осями координат:

   • Пересечение с осью ( Oy ) (значение функции при ( x = 0 )): [ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 ] Точка пересечения с осью ( Oy ): ( (0, 2) ).

   • Пересечение с осью ( Ox ) (решение уравнения ( f(x) = 0 )): [ x^3 - 3x^2 + 2 = 0 ] Найдем корни этого уравнения. Подбором можно заметить, что ( x = 1 ) является корнем: [ 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 ] Разделим многочлен на ( x - 1 ) методом деления многочленов или схемой Горнера: [ x^3 - 3x^2 + 2 = (x - 1)(x^2 - 2x - 2) ] Решим квадратное уравнение ( x^2 - 2x - 2 = 0 ) по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} ] Корни: ( x = 1 ), ( x = 1 + \sqrt{3} ), ( x = 1 - \sqrt{3} ).

3. Промежутки возрастания и убывания:

   • Найдем производную функции: [ f'(x) = 3x^2 - 6x ]
   • Найдем критические точки: [ 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 ]
   • Исследуем знаки производной на промежутках: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 2) ), ( (2, +\infty) ):
     • На ( (-\infty, 0) ): выберем ( x = -1 ), ( f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 ), функция возрастает.
     • На ( (0, 2) ): выберем ( x = 1 ), ( f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 ), функция убывает.
     • На ( (2, +\infty) ): выберем ( x = 3 ), ( f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 ), функция возрастает.

4. Экстремумы:

   • В точке ( x = 0 ) функция меняет знак производной с положительного на отрицательный, поэтому в ( x = 0 ) максимум. [ f(0) = 2 ]
   • В точке ( x = 2 ) функция меняет знак производной с отрицательного на положительный, поэтому в ( x = 2 ) минимум. [ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 ]

5. Асиптоты и поведение на бесконечности:

   • Так как функция является многочленом третьей степени, асимптот нет.
   • Поведение на бесконечности: при ( x \to +\infty ), ( f(x) \to +\infty ) и при ( x \to -\infty ), ( f(x) \to -\infty ).

6. Построение графика:

   • Отметьте точки пересечения с осями: ( (0, 2) ), ( (1, 0) ), ( (1 + \sqrt{3}, 0) ), ( (1 - \sqrt{3}, 0) ).
   • Отметьте экстремумы: максимум в ( (0, 2) ), минимум в ( (2, -2) ).
   • На основе исследования знаков производной постройте график, учитывая, что функция возрастает на ( (-\infty, 0) ) и ( (2, +\infty) ), убывает на ( (0, 2) ).

График функции представляет собой кубическую кривую, с максимумом в начале координат и минимумом в точке ( x = 2 ).