Исследуйте функцию f$x$=x^3-3x^2+2 и постройте график

Для исследования функции f$x$ = x^3 - 3x^2 + 2 нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производные функции f$x$ и найти точки экстремума и точки перегиба.
2. Найти нули функции f$x$ и точки пересечения с осями координат.

3. Построить график функции f$x$ на основе полученной информации.

4. Найдем производные функции f$x$: f'$x$ = 3x^2 - 6x f''$x$ = 6x - 6

Для нахождения точек экстремума и точек перегиба приравняем производные к нулю: 3x^2 - 6x = 0 x$3x-6$ = 0 x = 0 или x = 2

f''$0$ = -6, f''$2$ = 6 Точка $0,2$ - точка перегиба, точка $2,-2$ - точка экстремума.

1. Найдем нули функции f$x$ и точки пересечения с осями координат: x^3 - 3x^2 + 2 = 0 $x-1$$x^2-2x-2$ = 0 x = 1, x = 1 + √3, x = 1 - √3

Точки пересечения с осями координат: $1,0$, $1+\surd 3,0$, $1-\surd 3,0$

1. Построим график функции f$x$ на основе полученной информации:
   • На графике будут отмечены точки экстремума, точка перегиба и точки пересечения с осями координат.
   • График функции будет проходить через данные точки и иметь соответствующую форму кубической функции.

Таким образом, исследовав функцию f$x$ = x^3 - 3x^2 + 2 и построив её график, мы получим полное представление о её поведении и особенностях.

Для исследования функции $f(x$ = x^3 - 3x^2 + 2 ) необходимо выполнить несколько шагов: найти область определения, точки пересечения с осями координат, промежутки возрастания и убывания, экстремумы, а также определить поведение функции на концах области определения.

1. Область определения: Функция $f(x$ = x^3 - 3x^2 + 2 ) определена на всей числовой прямой, то есть $x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }$ ).

2. Точки пересечения с осями координат:

   • Пересечение с осью $Oy$ $значениефункциипри(x=0$): $f(0)=0^3-3\cdot 0^2+2=2$ Точка пересечения с осью $Oy$: $(0,2$ ).

   • Пересечение с осью $Ox$ $решениеуравнения(f(x$ = 0 )): $x^3-3x^2+2=0$ Найдем корни этого уравнения. Подбором можно заметить, что $x=1$ является корнем: $1^3-3\cdot 1^2+2=1-3+2=0$ Разделим многочлен на $x-1$ методом деления многочленов или схемой Горнера: $x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)$ Решим квадратное уравнение $x^2-2x-2=0$ по формуле: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{4+8}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{12}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}=1\pm \sqrt{3}$ Корни: $x=1$, $x=1+\sqrt{3}$, $x=1-\sqrt{3}$.

3. Промежутки возрастания и убывания:

   • Найдем производную функции: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$
   • Найдем критические точки: $3x(x-2)=0⟹x=0\text{и}x=2$
   • Исследуем знаки производной на промежутках: $(-\mathrm{\infty },0$ ), $(0,2$ ), $(2,+\mathrm{\infty }$ ):
     • На $(-\mathrm{\infty },0$ ): выберем $x=-1$, $f^{\prime }(-1$ = 3$-1$^2 - 6$-1$ = 3 + 6 = 9 > 0 ), функция возрастает.
     • На $(0,2$ ): выберем $x=1$, $f^{\prime }(1$ = 3$1$^2 - 6$1$ = 3 - 6 = -3 < 0 ), функция убывает.
     • На $(2,+\mathrm{\infty }$ ): выберем $x=3$, $f^{\prime }(3$ = 3$3$^2 - 6$3$ = 27 - 18 = 9 > 0 ), функция возрастает.

4. Экстремумы:

   • В точке $x=0$ функция меняет знак производной с положительного на отрицательный, поэтому в $x=0$ максимум. $f(0)=2$
   • В точке $x=2$ функция меняет знак производной с отрицательного на положительный, поэтому в $x=2$ минимум. $f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2=8-12+2=-2$

5. Асиптоты и поведение на бесконечности:

   • Так как функция является многочленом третьей степени, асимптот нет.
   • Поведение на бесконечности: при $x\to +\mathrm{\infty }$, $f(x$ \to +\infty ) и при $x\to -\mathrm{\infty }$, $f(x$ \to -\infty ).

6. Построение графика:

   • Отметьте точки пересечения с осями: $(0,2$ ), $(1,0$ ), $(1+\sqrt{3},0$ ), $(1-\sqrt{3},0$ ).
   • Отметьте экстремумы: максимум в $(0,2$ ), минимум в $(2,-2$ ).
   • На основе исследования знаков производной постройте график, учитывая, что функция возрастает на $(-\mathrm{\infty },0$ ) и $(2,+\mathrm{\infty }$ ), убывает на $(0,2$ ).

График функции представляет собой кубическую кривую, с максимумом в начале координат и минимумом в точке $x=2$.