Исследуйте функцию f(x) = 2+9x+3x^2-x^3 на монотонность и экстремумы.

Для исследования функции f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3 на монотонность и экстремумы необходимо найти производные первого и второго порядка данной функции.

1. Найдем производную первого порядка: f'(x) = 9 + 6x - 3x^2

2. Найдем производную второго порядка: f''(x) = 6 - 6x

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную первого порядка к нулю и найдя соответствующие значения x: 9 + 6x - 3x^2 = 0 3x^2 - 6x - 9 = 0 x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 или x = -1

Таким образом, найденные точки экстремума функции f(x) равны x = 3 и x = -1. Далее анализируем знаки производной в окрестностях этих точек, чтобы определить монотонность функции.

При x < -1: f'(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале. При -1 < x < 3: f'(x) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале. При x > 3: f'(x) > 0, следовательно, функция снова возрастает на этом интервале.

Таким образом, функция f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3 убывает на интервале (-1, 3) и возрастает за его пределами. Точка x = -1 является точкой локального максимума, а точка x = 3 - точкой локального минимума.

Чтобы исследовать функцию ( f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3 ) на монотонность и экстремумы, нужно выполнить несколько шагов. Начнем с нахождения первой производной функции.

1. Найдите первую производную:

Функция задана как ( f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3 ).

Первая производная ( f'(x) ) равна: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 + 9x + 3x^2 - x^3) = 0 + 9 + 6x - 3x^2 = 9 + 6x - 3x^2. ]

2. Найдите критические точки:

Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю или не определена. В данном случае, ( f'(x) = 9 + 6x - 3x^2 ) всегда определена, поэтому ищем, когда она равна нулю: [ 9 + 6x - 3x^2 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение: [ -3x^2 + 6x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 - 6x - 9 = 0. ]

Разделим на (-3): [ x^2 - 2x - 3 = 0. ]

Решим уравнение методом нахождения корней: [ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0. ]

Таким образом, ( x = 3 ) и ( x = -1 ) являются критическими точками.

3. Исследуйте интервалы знакопостоянства первой производной:

Разделим числовую ось на интервалы, используя критические точки: ((-\infty, -1)), ((-1, 3)), и ((3, \infty)).

• Для интервала ((-\infty, -1)), выберем тестовую точку (x = -2): [ f'(-2) = 9 + 6(-2) - 3(-2)^2 = 9 - 12 - 12 = -15. ] Здесь (f'(x) < 0), значит, функция убывает.

• Для интервала ((-1, 3)), выберем тестовую точку (x = 0): [ f'(0) = 9 + 6(0) - 3(0)^2 = 9. ] Здесь (f'(x) > 0), значит, функция возрастает.

• Для интервала ((3, \infty)), выберем тестовую точку (x = 4): [ f'(4) = 9 + 6(4) - 3(4)^2 = 9 + 24 - 48 = -15. ] Здесь (f'(x) < 0), значит, функция убывает.

4. Найдите экстремумы:

На основе анализа знака первой производной:

• В точке (x = -1), (f'(x)) меняется с отрицательного на положительное, следовательно, в этой точке функция имеет локальный минимум.
• В точке (x = 3), (f'(x)) меняется с положительного на отрицательное, следовательно, в этой точке функция имеет локальный максимум.

5. Вычислите значения функции в критических точках:

• ( f(-1) = 2 + 9(-1) + 3(-1)^2 - (-1)^3 = 2 - 9 + 3 + 1 = -3 ).
• ( f(3) = 2 + 9(3) + 3(3)^2 - 3^3 = 2 + 27 + 27 - 27 = 29 ).

Итог:

Функция ( f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3 ) убывает на интервале ((-\infty, -1)), имеет локальный минимум в точке (x = -1) со значением (f(-1) = -3), возрастает на интервале ((-1, 3)), имеет локальный максимум в точке (x = 3) со значением (f(3) = 29), и убывает на интервале ((3, \infty)).

Функция f(x) = 2+9x+3x^2-x^3 монотонно возрастает на (-бесконечность; 1) и монотонно убывает на (1; +бесконечность). Локальный максимум достигается в точке x = 1, равный f(1) = 13.