Исследуйте функцию f (x)=x^3-12x и постройте ее график .спасибо )

Для начала исследуем функцию f(x) = x^3 - 12x на экстремумы. Для этого найдем производную функции: f'(x) = 3x^2 - 12

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения: 3x^2 - 12 = 0 3(x^2 - 4) = 0 x^2 - 4 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0 x1 = 2, x2 = -2

Таким образом, у функции f(x) = x^3 - 12x есть две точки экстремума: x = 2 и x = -2.

Теперь найдем значение функции в найденных точках экстремума: f(2) = 2^3 - 122 = 8 - 24 = -16 f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16

Построим график функции f(x) = x^3 - 12x. На основе полученных данных видно, что функция имеет точки экстремума в точках (2, -16) и (-2, 16). График функции будет выглядеть следующим образом:

(График не может быть отображен в текстовом виде, но его можно легко построить с помощью графических программ или онлайн калькуляторов функций.)

Таким образом, функция f(x) = x^3 - 12x имеет две точки экстремума и ее график можно построить, учитывая эти точки.

Для исследования функции ( f(x) = x^3 - 12x ) выполним следующие шаги:

1. Область определения функции: Функция ( f(x) = x^3 - 12x ) определена для всех ( x ) из множества действительных чисел (( \mathbb{R} )).

2. Четность и нечетность функции: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ( f(-x) = (-x)^3 - 12(-x) = -x^3 + 12x \neq f(x) ) и ( f(-x) \neq -f(x) ).

3. Пересечение с осями координат:

   • Ось Y: ( f(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 = 0 ). Точка (0,0) — точка пересечения с осью Y.
   • Ось X: решаем уравнение ( x^3 - 12x = 0 ). Факторизуем: ( x(x^2 - 12) = 0 ). Отсюда ( x = 0 ) или ( x^2 = 12 ). Таким образом, точки пересечения с осью X: ( x = 0, x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}, x = -\sqrt{12} = -2\sqrt{3} ).

4. Производная и критические точки: ( f'(x) = 3x^2 - 12 ). Решим уравнение ( f'(x) = 0 ): ( 3x^2 - 12 = 0 ) ( x^2 = 4 ) ( x = \pm 2 ). Эти точки являются критическими точками функции.

5. Интервалы возрастания и убывания:

   • ( f'(x) > 0 ) при ( x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ) — функция возрастает.
   • ( f'(x) < 0 ) при ( x \in (-2, 2) ) — функция убывает.

6. Вторая производная и точки перегиба: ( f''(x) = 6x ). Решим ( f''(x) = 0 ): ( 6x = 0 ) ( x = 0 ). Это потенциальная точка перегиба. Проверяем изменение знака ( f''(x) ) при переходе через 0:

   • ( f''(x) > 0 ) при ( x > 0 ) (выпуклость вверх),
   • ( f''(x) < 0 ) при ( x < 0 ) (выпуклость вниз). Таким образом, ( x = 0 ) — точка перегиба.

7. Асимптоты: Функция является многочленом, поэтому вертикальных и горизонтальных асимптот не имеет.

Построение графика: Используя полученные данные (точки пересечения с осями, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба), можно построить график. График начинает в минус бесконечности, проходит через точки ((-2\sqrt{3}, 0)), ((-2, 16)), ((0, 0)), ((2, -16)), и ((2\sqrt{3}, 0)), и уходит в плюс бесконечность. В точке ( x = 0 ) график имеет перегиб.

Для построения графика можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение типа Desmos, GeoGebra и другие.