Исследовать и построить график функции у=х^3+3

Функция y=x^3+3 - это кубическая функция. График данной функции будет иметь форму кубической параболы, проходящей через точку (0,3).

Для начала исследуем функцию y = x^3 + 3 на ее основные характеристики.

1. Найдем точки пересечения с осями координат:

   • При x = 0, y = 3 Точка пересечения с осью y: (0, 3)
   • Для нахождения точек пересечения с осью x решим уравнение x^3 + 3 = 0 x^3 = -3 x = -∛3 Точка пересечения с осью x: (-∛3, 0)

2. Найдем экстремумы функции: Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y' = 3x^2 3x^2 = 0 x = 0 Получаем, что экстремумы функции находятся в точке (0, 3).

3. Изучим поведение функции на интервалах:

   • При x < 0 функция убывает
   • При x > 0 функция возрастает

Теперь построим график функции y = x^3 + 3, учитывая все полученные характеристики. График будет проходить через точки (0, 3) и (-∛3, 0), а также иметь экстремум в точке (0, 3) и изменять свое направление на интервалах x < 0 и x > 0.

Для того чтобы исследовать и построить график функции ( y = x^3 + 3 ), необходимо провести несколько шагов, включая нахождение основных характеристик функции и их анализ. Давайте разберем этот процесс более подробно:

1. Анализ функции

Область определения

Функция ( y = x^3 + 3 ) определена на всем множестве действительных чисел, то есть ( x \in \mathbb{R} ).

Четность/нечетность

Функция ( y = x^3 + 3 ) является нечетной относительно функции ( y = x^3 ) и постоянной величины 3. Однако, она сама по себе не является четной или нечетной, так как ( y(-x) = (-x)^3 + 3 = -x^3 + 3 \neq y(x) ) и ( y(-x) \neq -y(x) ).

Периодичность

Функция ( y = x^3 + 3 ) не является периодической.

2. Производные и критические точки

Первая производная

Для нахождения критических точек найдем первую производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3) = 3x^2 ] Первая производная равна нулю, когда: [ 3x^2 = 0 \implies x = 0 ] Следовательно, ( x = 0 ) — это критическая точка.

Вторая производная

Для определения характера критической точки (минимум, максимум или точка перегиба) найдем вторую производную: [ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x ] Вторая производная в точке ( x = 0 ) равна нулю: [ y''(0) = 6 \cdot 0 = 0 ] Так как ( y''(x) = 6x ), при ( x > 0 ) вторая производная положительна, а при ( x < 0 ) — отрицательна. Следовательно, точка ( x = 0 ) — это точка перегиба.

3. Поведение на бесконечности

Пределы при ( x \to \infty ) и ( x \to -\infty )

При ( x \to \infty ): [ y = x^3 + 3 \to \infty ] При ( x \to -\infty ): [ y = x^3 + 3 \to -\infty ]

4. Экстремумы и точки перегиба

Как мы видим, функция ( y = x^3 + 3 ) не имеет максимумов или минимумов, но имеет одну точку перегиба при ( x = 0 ). В этой точке: [ y(0) = 0^3 + 3 = 3 ]

5. Построение графика

Теперь мы можем построить график функции, используя все вышеуказанные характеристики.

1. График проходит через точку (0, 3).
2. При ( x > 0 ), функция возрастает стремительно, так как ( y = x^3 + 3 ).
3. При ( x < 0 ), функция убывает стремительно.
4. На бесконечности график уходит в положительную и отрицательную стороны соответственно.
5. График симметричен относительно точки перегиба (0, 3).

Заключение

Итак, функция ( y = x^3 + 3 ) является кубической параболой, сдвинутой вверх на 3 единицы. Она имеет одну точку перегиба при ( x = 0 ), где ( y = 3 ). Функция определена на всем множестве действительных чисел и не имеет максимумов или минимумов. График функции представляет собой сглаженную S-образную кривую, проходящую через точку (0, 3) и стремящуюся к бесконечности и минус бесконечности при ( x \to \infty ) и ( x \to -\infty ) соответственно.