Исследовать функцию y=x³-3x² и построить график

Для того чтобы исследовать функцию ( y = x^3 - 3x^2 ) и построить её график, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Область определения: Функция ( y = x^3 - 3x^2 ) определена на всей числовой прямой, то есть ( x \in \mathbb{R} ).

2. Нули функции: Найдём точки, в которых функция пересекает ось абсцисс (оси ( x )). Для этого решаем уравнение ( x^3 - 3x^2 = 0 ).

   [ x^2(x - 3) = 0 ]

   Следовательно, ( x = 0 ) или ( x = 3 ). Нули функции: ( x = 0 ) и ( x = 3 ).

3. Производная функции: Найдём первую производную ( y' ) для исследования критических точек и монотонности функции.

   [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) ]

   Найдём критические точки, решая уравнение ( y' = 0 ):

   [ 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 2 ]

4. Исследование знака производной: Для определения промежутков возрастания и убывания функции, исследуем знак первой производной на интервалах, определённых критическими точками ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

   • На интервале ( (-\infty, 0) ): выберем точку ( x = -1 ): [ y'(-1) = 3(-1)(-1 - 2) = 9 > 0 \implies y \text{ возрастает} ]

   • На интервале ( (0, 2) ): выберем точку ( x = 1 ): [ y'(1) = 3(1)(1 - 2) = -3 < 0 \implies y \text{ убывает} ]

   • На интервале ( (2, \infty) ): выберем точку ( x = 3 ): [ y'(3) = 3(3)(3 - 2) = 9 > 0 \implies y \text{ возрастает} ]

   Таким образом, функция возрастает на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (2, \infty) ), убывает на интервале ( (0, 2) ).

5. Вторичная производная: Найдём вторую производную ( y'' ) для исследования выпуклости и вогнутости функции.

   [ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 ]

6. Исследование знака второй производной: Найдём точки, где ( y'' = 0 ):

   [ 6x - 6 = 0 \implies x = 1 ]

   Исследуем знак второй производной на интервалах ( (-\infty, 1) ) и ( (1, \infty) ):

   • На интервале ( (-\infty, 1) ): выберем точку ( x = 0 ): [ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \implies y \text{ вогнута вниз} ]

   • На интервале ( (1, \infty) ): выберем точку ( x = 2 ): [ y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \implies y \text{ вогнута вверх} ]

   Таким образом, при ( x = 1 ) происходит изменение выпуклости функции.

7. Точки экстремумов и перегиба:

   • ( x = 0 ): ( y(0) = 0 ) — это точка максимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.
   • ( x = 2 ): ( y(2) = -4 ) — это точка минимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный.
   • ( x = 1 ): ( y(1) = -2 ) — это точка перегиба, так как меняется выпуклость функции.

8. Построение графика: Имея всю информацию, можно построить график функции:

   • Функция возрастает на ( (-\infty, 0) ) и ( (2, \infty) ).
   • Функция убывает на ( (0, 2) ).
   • Максимум в точке ( (0, 0) ), минимум в точке ( (2, -4) ).
   • Точка перегиба в ( (1, -2) ).

На основе полученных данных можно нарисовать график функции ( y = x^3 - 3x^2 ), отражающий её основные свойства.

Для исследования функции y=x³-3x² необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем производные функции: y' = 3x² - 6x

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 3x² - 6x = 0 3x(x-2) = 0 x = 0 или x = 2

3. Найдем значения функции в найденных точках: y(0) = 0 y(2) = 2³ - 3*2² = 2

Таким образом, точки экстремума функции y=x³-3x² равны (0,0) и (2,2).

1. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость: Для этого найдем вторую производную: y'' = 6x - 6

Подставим точки экстремума во вторую производную: y''(0) = -6 y''(2) = 6

Таким образом, точка (0,0) является точкой максимума (вогнутой) функции, а точка (2,2) - точкой минимума (выпуклой).

1. Построим график функции y=x³-3x², учитывая найденные точки экстремума и их характеристики (вогнутость и выпуклость).

График функции будет иметь вид параболы, проходящей через точки (0,0) и (2,2), с вогнутостью в точке (0,0) и выпуклостью в точке (2,2).