Исследовать функцию и построить ее график x^4-5x^2+4

Для исследования функции y=x^4-5x^2+4 нужно найти ее производные, нули, интервалы возрастания и убывания, точки экстремума, выпуклость и вогнутость. После этого можно построить график функции.

Для исследования функции ( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 ) и построения её графика, необходимо выполнить несколько шагов: найти область определения, точки пересечения с осями, симметрии, промежутки монотонности и экстремумы, а также точки перегиба и асимптоты.

1. Область определения: Функция ( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 ) является многочленом, поэтому она определена на всей числовой прямой, то есть ( x \in (-\infty, \infty) ).

2. Нули функции (точки пересечения с осью ( x )): Для нахождения нулей функции решаем уравнение ( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 ). Введём замену ( t = x^2 ), тогда уравнение принимает вид: [ t^2 - 5t + 4 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} ] Получаем два корня: [ t_1 = 4, \quad t_2 = 1 ] Возвращаемся к переменной ( x ): [ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 ] [ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 ] Таким образом, нули функции: ( x = -2, -1, 1, 2 ).

3. Точка пересечения с осью ( y ): Для точки ( y )-пересечения подставим ( x = 0 ): [ f(0) = 0^4 - 5 \cdot 0^2 + 4 = 4 ] Точка пересечения с осью ( y ) — ( (0, 4) ).

4. Исследование на симметрию: Проверим, является ли функция чётной или нечётной: [ f(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 4 = x^4 - 5x^2 + 4 = f(x) ] Функция чётная, значит, её график симметричен относительно оси ( y ).

5. Промежутки монотонности и экстремумы: Найдём производную функции: [ f'(x) = 4x^3 - 10x ] Найдём критические точки, решив уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 4x^3 - 10x = 0 ] Вынесем общий множитель ( 2x ): [ 2x(2x^2 - 5) = 0 ] Решим полученные уравнения: [ 2x = 0 \implies x = 0 ] [ 2x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = \frac{5}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} ] Таким образом, критические точки: ( x = 0, \pm \sqrt{\frac{5}{2}} ).

   Определим знаки производной на интервалах, разделённых критическими точками: [ f'(x) = 4x^3 - 10x = 2x(2x^2 - 5) ]

   • На интервале ((- \infty, -\sqrt{\frac{5}{2}})): ( f'(x) > 0 )
   • На интервале ((- \sqrt{\frac{5}{2}}, 0)): ( f'(x) < 0 )
   • На интервале ((0, \sqrt{\frac{5}{2}})): ( f'(x) < 0 )
   • На интервале ((\sqrt{\frac{5}{2}}, \infty)): ( f'(x) > 0 )

   Таким образом:

   • Функция возрастает на интервалах ((- \infty, -\sqrt{\frac{5}{2}})) и ((\sqrt{\frac{5}{2}}, \infty))
   • Функция убывает на интервале ((- \sqrt{\frac{5}{2}}, \sqrt{\frac{5}{2}}))

6. Вторые производные и точки перегиба: Найдём вторую производную: [ f''(x) = 12x^2 - 10 ] Найдём точки, где ( f''(x) = 0 ): [ 12x^2 - 10 = 0 \implies x^2 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{6}} ] Определим знаки второй производной на интервалах:

   • На интервалах ((- \infty, -\sqrt{\frac{5}{6}})) и ((\sqrt{\frac{5}{6}}, \infty)): ( f''(x) > 0 ) (вогнутость вверх, функция выпуклая)
   • На интервале ((- \sqrt{\frac{5}{6}}, \sqrt{\frac{5}{6}})): ( f''(x) < 0 ) (вогнутость вниз, функция вогнутая)

   Таким образом, точки перегиба: ( x = \pm \sqrt{\frac{5}{6}} ).

7. Построение графика: Теперь у нас есть вся необходимая информация для построения графика функции:

   • Область определения: ( x \in (-\infty, \infty) )
   • Точки пересечения с осями: ( (-2, 0) ), ( (-1, 0) ), ( (0, 4) ), ( (1, 0) ), ( (2, 0) )
   • Симметрия относительно оси ( y )
   • Промежутки возрастания и убывания, экстремумы
   • Точки перегиба

График функции ( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 ) будет иметь характерные особенности, такие как симметрия относительно оси ( y ), локальные максимумы и минимумы, а также точки перегиба.

Для начала исследуем данную функцию. Для этого найдем производные первого и второго порядка.

f(x) = x^4 - 5x^2 + 4

f'(x) = 4x^3 - 10x f''(x) = 12x^2 - 10

Теперь найдем точки экстремума и точки перегиба функции.

Для точек экстремума: f'(x) = 0 4x^3 - 10x = 0 2x(2x^2 - 5) = 0 x = 0, x = √(5/2), x = -√(5/2)

f''(0) = -10 < 0 - точка x = 0 - локальный максимум f''(√(5/2)) = 20√(5/2) - 10 > 0 - точка x = √(5/2) - локальный минимум f''(-√(5/2)) = 20√(5/2) - 10 > 0 - точка x = -√(5/2) - локальный минимум

Теперь для точек перегиба: f''(x) = 0 12x^2 - 10 = 0 x^2 = 10/12 = 5/6 x = ±√(5/6)

f(√(5/6)) = 5/6 - 55/6 + 4 = -5/6 + 4 = 19/6 f(-√(5/6)) = 5/6 - 55/6 + 4 = -5/6 + 4 = 19/6

Таким образом, у функции f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 есть точки экстремума x = 0, x = √(5/2), x = -√(5/2) и точки перегиба x = ±√(5/6).

Теперь построим график данной функции.