Иррациональные уравнения помогите пожалуйста корень из x-2 +корень из x+6=4, поподробнее
Иррациональные уравнения помогите пожалуйста корень из x-2 +корень из x+6=4, поподробнее
Конечно, давайте разберем иррациональное уравнение (\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 4) более детально.
Для начала, изолируем один из корней. Допустим, изолируем (\sqrt{x-2}): [ \sqrt{x-2} = 4 - \sqrt{x+6} ]
Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: [ (\sqrt{x-2})^2 = (4 - \sqrt{x+6})^2 ] [ x - 2 = 16 - 8\sqrt{x+6} + (x + 6) ]
Приведем подобные члены: [ x - 2 = x + 22 - 8\sqrt{x+6} ]
Теперь вычтем (x) из обеих частей: [ -2 = 22 - 8\sqrt{x+6} ]
Изолируем корень: [ -2 - 22 = -8\sqrt{x+6} ] [ -24 = -8\sqrt{x+6} ]
Разделим обе части уравнения на (-8): [ 3 = \sqrt{x+6} ]
Снова возводим обе части уравнения в квадрат: [ 3^2 = (\sqrt{x+6})^2 ] [ 9 = x + 6 ]
Теперь вычтем 6 из обеих частей: [ x = 9 - 6 ] [ x = 3 ]
Необходимо подставить найденное значение (x = 3) в исходное уравнение и проверить:
Исходное уравнение: [ \sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 4 ]
Подставляем (x = 3): [ \sqrt{3-2} + \sqrt{3+6} = 4 ] [ \sqrt{1} + \sqrt{9} = 4 ] [ 1 + 3 = 4 ] [ 4 = 4 ]
Так как обе части уравнения равны, найденное значение (x = 3) является правильным решением.
(x = 3) является решением уравнения (\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 4).
Для решения данного уравнения с иррациональными корнями, мы можем преобразовать его следующим образом:
√(x - 2) + √(x + 6) = 4
Первым шагом можно избавиться от корней, возводя обе части уравнения в квадрат:
(x - 2) + 2√(x - 2)√(x + 6) + (x + 6) = 16
Упростим выражение:
2√(x - 2)√(x + 6) = 16 - x - 6 - 2 = 8 - x
Теперь возводим обе части в квадрат еще раз:
4(x - 2)(x + 6) = (8 - x)^2
4(x^2 + 6x - 2x - 12) = 64 - 16x + x^2
4(x^2 + 4x - 12) = 64 - 16x + x^2
4x^2 + 16x - 48 = 64 - 16x + x^2
3x^2 + 32x - 112 = 0
Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта и формулы корней. Полученные корни подставляем обратно в исходное уравнение для проверки.
