H(x)=2-3x/x+2 вычислить h'(-1)

Для того чтобы найти производную функции ( h(x) = \frac{2 - 3x}{x + 2} ) и затем вычислить её значение в точке ( x = -1 ), следуем следующим шагам:

1. Нахождение производной: Функция ( h(x) ) представлена в виде дроби, поэтому для её дифференцирования используем правило дифференцирования частного: если ( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} ), то её производная ( f'(x) ) определяется как:

   [ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} ]

   где ( u(x) = 2 - 3x ) и ( v(x) = x + 2 ).

2. Вычисление производных ( u'(x) ) и ( v'(x) ):

   [ u(x) = 2 - 3x \quad \Rightarrow \quad u'(x) = -3 ]

   [ v(x) = x + 2 \quad \Rightarrow \quad v'(x) = 1 ]

3. Применение формулы производной для дроби:

   [ h'(x) = \frac{(-3)(x + 2) - (2 - 3x)(1)}{(x + 2)^2} ]

   Раскроем скобки и упростим выражение:

   [ h'(x) = \frac{-3x - 6 - 2 + 3x}{(x + 2)^2} ]

   [ h'(x) = \frac{-6 - 2}{(x + 2)^2} = \frac{-8}{(x + 2)^2} ]

4. Вычисление ( h'(-1) ):

   Подставим ( x = -1 ) в выражение для производной:

   [ h'(-1) = \frac{-8}{((-1) + 2)^2} = \frac{-8}{1^2} = -8 ]

Таким образом, ( h'(-1) = -8 ).

Чтобы найти производную функции h(x) в точке x=-1, нужно найти значение производной функции h(x) и подставить x=-1.

Для вычисления производной функции h(x) сначала найдем саму функцию h(x):

h(x) = (2 - 3x) / (x + 2)

Теперь найдем производную этой функции по правилу дифференцирования частного:

h'(x) = [(2 - 3x)'(x + 2) - (2 - 3x)(x + 2)'] / (x + 2)^2 h'(x) = (-3*(x + 2) - (2 - 3x)) / (x + 2)^2 h'(x) = (-3x - 6 - 2 + 3x) / (x + 2)^2 h'(x) = -8 / (x + 2)^2

Теперь подставим x = -1 в выражение для производной и найдем h'(-1):

h'(-1) = -8 / (-1 + 2)^2 h'(-1) = -8 / 1 h'(-1) = -8

Таким образом, значение производной функции h(x) в точке x = -1 равно -8.