График уравнения y+|x|-3=0. Кто поможет решить? Заранее спасибо.

Рассмотрим уравнение:

[ y + |x| - 3 = 0. ]

Задача состоит в том, чтобы построить график этого уравнения и разобраться, как его решить. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Упростим уравнение:

Переносим ( |x| ) и ( 3 ) в разные стороны:

[ y = 3 - |x|. ]

Теперь видно, что это уравнение задает зависимость ( y ) от ( x ), где ( y ) определяется через модуль ( |x| ).

2. Что такое модуль ( |x| )?

Модуль числа ( x ), обозначаемый как ( |x| ), равен:

[ |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \geq 0, \ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases} ]

Это значит, что функция ( |x| ) всегда неотрицательная и принимает одинаковые значения для чисел ( x ) и ( -x ). Например, ( |2| = 2 ), а ( |-2| = 2 ).

3. Построение графика:

Уравнение ( y = 3 - |x| ) можно разбить на два случая в зависимости от значения ( x ):

1. Если ( x \geq 0 ): В этом случае ( |x| = x ), и уравнение превращается в:

   [ y = 3 - x. ]

   Это уравнение прямой с углом наклона ( -1 ), которая проходит через точку ( (0, 3) ) и убывает вправо.

2. Если ( x < 0 ): В этом случае ( |x| = -x ), и уравнение становится:

   [ y = 3 - (-x) = 3 + x. ]

   Это уравнение прямой с углом наклона ( 1 ), которая проходит через точку ( (0, 3) ) и возрастает влево.

4. Объединение двух случаев:

График ( y = 3 - |x| ) состоит из двух прямых:

• ( y = 3 - x ) при ( x \geq 0 ),
• ( y = 3 + x ) при ( x < 0 ).

Эти две прямые соединяются в точке ( (0, 3) ), которая является "вершиной" графика.

5. Геометрическая интерпретация:

График ( y = 3 - |x| ) представляет собой равнобедренный треугольник или угол, симметрично расположенный относительно оси ( y ).

• Вершина этого треугольника находится в точке ( (0, 3) ).
• Прямые ( y = 3 - x ) и ( y = 3 + x ) являются его сторонами.

• График пересекает ось ( x ) в точках ( (-3, 0) ) и ( (3, 0) ), так как при ( y = 0 ):

  [ 0 = 3 - |x| \quad \Rightarrow \quad |x| = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3. ]

6. Итог:

График уравнения ( y + |x| - 3 = 0 ) представляет собой угол или треугольник, вершина которого находится в точке ( (0, 3) ), а стороны идут под углами ( 45^\circ ) к осям координат. График пересекает ось ( x ) в точках ( (-3, 0) ) и ( (3, 0) ).

Вот как выглядит график:

[ \text{График:} ]

   ^
  3|         /\
   |        /  \
   |       /    \
   |      /      \
  0|-----/--------\-----
   |   -3         3
   |

Чтобы построить график уравнения ( y + |x| - 3 = 0 ), сначала преобразуем его в более удобный вид:

[ y = 3 - |x|. ]

Это уравнение представляет собой V-образный график, который имеет вершину в точке (0, 3) и наклоняется вниз.

График будет выглядеть следующим образом:

• Для ( x \geq 0 ): ( y = 3 - x ) (прямая с отрицательным угловым коэффициентом).
• Для ( x < 0 ): ( y = 3 + x ) (прямая с положительным угловым коэффициентом).

Таким образом, график будет иметь вершину в (0, 3) и пересекаться с осью ( y ) в точке (0, 3), а также с осью ( x ) в точках (3, 0) и (-3, 0).

Чтобы исследовать график уравнения ( y + |x| - 3 = 0 ), сначала преобразуем его в более удобный вид. Перепишем уравнение:

[ y = -|x| + 3. ]

Это уравнение представляет собой функцию, в которой ( y ) выражается через ( |x| ). График этой функции будет состоять из двух частей, так как модуль ( |x| ) меняет свое значение в зависимости от знака ( x ).

1. Разделим на два случая:

• Случай 1: ( x \geq 0 )

В этом случае ( |x| = x ), и уравнение принимает вид:

[ y = -x + 3. ]

Это уравнение представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом -1 и пересекает ось ( y ) в точке (0, 3). Прямая будет убывать, начиная от точки (0, 3) и проходя через (3, 0).

• Случай 2: ( x < 0 )

Здесь ( |x| = -x ), и уравнение становится:

[ y = -(-x) + 3 = x + 3. ]

Это также прямая линия, но с угловым коэффициентом +1. Она пересекает ось ( y ) в той же точке (0, 3) и будет возрастать, проходя через точки (-3, 0).

2. Построение графика:

Теперь давайте построим график:

• Для ( x \geq 0 ): прямая ( y = -x + 3 ).

  • Пересечение с осью ( y ): (0, 3).
  • Пересечение с осью ( x ) (где ( y = 0 )): ( 0 = -x + 3 \Rightarrow x = 3 ) (точка (3, 0)).

• Для ( x < 0 ): прямая ( y = x + 3 ).

  • Пересечение с осью ( y ): (0, 3).
  • Пересечение с осью ( x ) (где ( y = 0 )): ( 0 = x + 3 \Rightarrow x = -3 ) (точка (-3, 0)).

3. Завершение графика:

График функции ( y = -|x| + 3 ) будет представлять собой "V"-образную фигуру, открывающуюся вниз. Вершина этого "V" находится в точке (0, 3), а его ноги будут проходить через точки (3, 0) и (-3, 0).

4. Итог:

График уравнения ( y + |x| - 3 = 0 ) — это "V"-образная фигура с вершиной в точке (0, 3) и пересечениями с осью ( x ) в точках (3, 0) и (-3, 0).