Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см ,а его площадь равна 54см².Найти катеты.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулами площади и теоремы Пифагора.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Из условия задачи получаем уравнение:

(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 54),

где (a) и (b) - катеты треугольника.

Также, по теореме Пифагора, гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов:

(c^2 = a^2 + b^2),

где (c) - гипотенуза треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что гипотенуза (c = 15) см.

Подставляем известные значения в уравнения:

(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 54),

(a^2 + b^2 = 15^2 = 225).

Решаем систему уравнений, например, методом подбора целочисленных значений катетов:

Подбираем такие значения (a) и (b), чтобы их произведение было равно 108 и сумма их квадратов равнялась 225.

Подходящие значения: (a = 9) см, (b = 12) см.

Итак, катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см.

Для решения задачи о нахождении катетов прямоугольного треугольника, если известны гипотенуза и площадь, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначение переменных: Пусть ( a ) и ( b ) — катеты прямоугольного треугольника. Гипотенуза ( c = 15 ) см, а площадь ( S = 54 ) см².

2. Формула площади: Площадь ( S ) прямоугольного треугольника выражается через катеты как: [ S = \frac{1}{2} a b = 54 ] Отсюда: [ a b = 108 ]

3. Теорема Пифагора: Для прямоугольного треугольника согласно теореме Пифагора имеем: [ a^2 + b^2 = c^2 = 15^2 = 225 ]

4. Система уравнений: Теперь у нас есть система уравнений: [ \begin{cases} a b = 108 \ a^2 + b^2 = 225 \end{cases} ]

5. Выразим одно из уравнений через другое: Из первого уравнения выразим ( b ) через ( a ): [ b = \frac{108}{a} ]

6. Подставим в уравнение Пифагора: [ a^2 + \left(\frac{108}{a}\right)^2 = 225 ] [ a^2 + \frac{11664}{a^2} = 225 ]

7. Умножим на ( a^2 ) для избавления от дроби: [ a^4 + 11664 = 225a^2 ] [ a^4 - 225a^2 + 11664 = 0 ]

8. Введем замену: Пусть ( x = a^2 ). Тогда получим квадратное уравнение: [ x^2 - 225x + 11664 = 0 ]

9. Решим квадратное уравнение: Найдем дискриминант: [ D = 225^2 - 4 \times 11664 = 50625 - 46656 = 3969 ] [ \sqrt{D} = 63 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{225 \pm 63}{2} ] [ x_1 = \frac{288}{2} = 144, \quad x_2 = \frac{162}{2} = 81 ]

10. Вернемся к переменным ( a ) и ( b ): Если ( x_1 = 144 ), то ( a^2 = 144 ) и ( a = 12 ), тогда ( b = \frac{108}{12} = 9 ). Если ( x_2 = 81 ), то ( a^2 = 81 ) и ( a = 9 ), тогда ( b = \frac{108}{9} = 12 ).

Таким образом, катеты треугольника равны 9 см и 12 см.