Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см ,а его площадь равна 54см².Найти катеты.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулами площади и теоремы Пифагора.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Из условия задачи получаем уравнение:

$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=54$,

где $a$ и $b$ - катеты треугольника.

Также, по теореме Пифагора, гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов:

$c^2=a^2+b^2$,

где $c$ - гипотенуза треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что гипотенуза $c=15$ см.

Подставляем известные значения в уравнения:

$\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=54$,

$a^2+b^2={15}^2=225$.

Решаем систему уравнений, например, методом подбора целочисленных значений катетов:

Подбираем такие значения $a$ и $b$, чтобы их произведение было равно 108 и сумма их квадратов равнялась 225.

Подходящие значения: $a=9$ см, $b=12$ см.

Итак, катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см.

Для решения задачи о нахождении катетов прямоугольного треугольника, если известны гипотенуза и площадь, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначение переменных: Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника. Гипотенуза $c=15$ см, а площадь $S=54$ см².

2. Формула площади: Площадь $S$ прямоугольного треугольника выражается через катеты как: $S=\frac{1}{2}ab=54$ Отсюда: $ab=108$

3. Теорема Пифагора: Для прямоугольного треугольника согласно теореме Пифагора имеем: $a^2+b^2=c^2={15}^2=225$

4. Система уравнений: Теперь у нас есть система уравнений: $\{\begin{array}{l}ab=108a^2+b^2=225\end{array}$

5. Выразим одно из уравнений через другое: Из первого уравнения выразим $b$ через $a$: $b=\frac{108}{a}$

6. Подставим в уравнение Пифагора: $a^2+{\left(\frac{108}{a}\right)}^2=225$ $a^2+\frac{11664}{a^2}=225$

7. Умножим на $a^2$ для избавления от дроби: $a^4+11664=225a^2$ $a^4-225a^2+11664=0$

8. Введем замену: Пусть $x=a^2$. Тогда получим квадратное уравнение: $x^2-225x+11664=0$

9. Решим квадратное уравнение: Найдем дискриминант: $D={225}^2-4\times 11664=50625-46656=3969$ $\sqrt{D}=63$ Корни уравнения: $x_{1,2}=\frac{225\pm 63}{2}$ $x_1=\frac{288}{2}=144,x_2=\frac{162}{2}=81$

10. Вернемся к переменным $a$ и $b$: Если $x_1=144$, то $a^2=144$ и $a=12$, тогда $b=\frac{108}{12}=9$. Если $x_2=81$, то $a^2=81$ и $a=9$, тогда $b=\frac{108}{9}=12$.

Таким образом, катеты треугольника равны 9 см и 12 см.