ГЕОМЕТРИЯ Найдите длину отрезка касательной, проведенной к окружности из точки А, если расстояние от...

Для нахождения длины отрезка касательной, проведенной к окружности из точки A, можно воспользоваться теоремой о касательной и радиусе окружности. Согласно этой теореме, касательная к окружности и радиус, проведенный в точке касания, образуют прямой угол.

Обозначим:

• ( OA ) — расстояние от точки ( A ) до центра окружности ( O ) (в данном случае ( OA = 15 )),
• ( r ) — радиус окружности (в данном случае ( r = 9 )),
• ( T ) — точка касания касательной к окружности.

Согласно теореме Пифагора, для треугольника ( OAT ) (где ( O ) — центр окружности, ( A ) — точка, из которой проведена касательная, ( T ) — точка касания) справедливо следующее равенство:

[ OT^2 + AT^2 = OA^2, ]

где:

• ( OT ) — радиус, проведенный к точке касания (в данном случае равен ( r = 9 )),
• ( AT ) — длина отрезка касательной, которую мы хотим найти.

Подставим известные значения в уравнение:

1. Найдем квадрат расстояния от точки ( A ) до центра окружности ( O ):

[ OA^2 = 15^2 = 225. ]

1. Найдем квадрат радиуса:

[ OT^2 = 9^2 = 81. ]

Теперь подставим эти значения в уравнение:

[ 81 + AT^2 = 225. ]

1. Выразим ( AT^2 ):

[ AT^2 = 225 - 81 = 144. ]

1. Теперь найдем ( AT ):

[ AT = \sqrt{144} = 12. ]

Таким образом, длина отрезка касательной, проведенной к окружности из точки ( A ), равна ( 12 ) единиц.

Для решения задачи воспользуемся свойством касательной, проведенной к окружности из внешней точки. Согласно этому свойству, отрезок касательной, проведенной из внешней точки к окружности, является одной из сторон прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это расстояние от внешней точки до центра окружности, а радиус окружности — второй катет.

Дано:

• Расстояние от точки ( A ) до центра окружности ( O ): ( AO = 15 );
• Радиус окружности ( R = 9 );
• Нужно найти длину отрезка касательной ( AB ), где ( AB ) — это касательная, проведенная из точки ( A ) к окружности.

Решение:

Отрезок ( AB ), проведенный из точки ( A ) к окружности, будет перпендикулярен радиусу ( OB ) в точке касания ( B ). Таким образом, образуется прямоугольный треугольник ( \triangle OAB ), у которого:

• ( AO ) — гипотенуза (( c = 15 ));
• ( OB ) — радиус окружности (( b = 9 ));
• ( AB ) — искомая касательная (( a )).

По теореме Пифагора:

[ c^2 = a^2 + b^2 ]

Подставим известные значения:

[ 15^2 = a^2 + 9^2 ]

Рассчитаем квадраты:

[ 225 = a^2 + 81 ]

Выразим ( a^2 ):

[ a^2 = 225 - 81 ]

[ a^2 = 144 ]

Найдем ( a ), извлекая квадратный корень:

[ a = \sqrt{144} = 12 ]

Ответ:

Длина отрезка касательной ( AB ), проведенной из точки ( A ) к окружности, равна 12.

Длину отрезка касательной можно найти по теореме Пифагора. Если OA — расстояние от точки A до центра O, а r — радиус окружности, то длина касательной ( TA ) определяется формулой:

[ TA = \sqrt{OA^2 - r^2} ]

Подставим значения:

[ OA = 15, \quad r = 9 ]

[ TA = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 ]

Таким образом, длина отрезка касательной равна 12.