Где находятся точки 5П/2 и 7П/2 на числовой окружности?

На числовой окружности точки 5π/2 и 7π/2 соответствуют углам 450° и 630° соответственно.

• Точка 5π/2 (450°) находится в позиции 90° (или π/2), так как 450° - это полный оборот (360°) плюс 90°.
• Точка 7π/2 (630°) находится в позиции 270° (или 3π/2), так как 630° - это два полных оборота (720°) минус 90°.

Таким образом:

• 5π/2 соответствует точке (0, 1).
• 7π/2 соответствует точке (0, -1).

Числовая окружность — это окружность радиуса 1, на которую наносятся точки, соответствующие значениям углов, заданных в радианах. Числовая окружность представляет собой замкнутую систему, где полный оборот составляет (2\pi) радиан (360 градусов). Таким образом, если значение угла больше (2\pi), то оно возвращается на окружность за счёт вычитания целых оборотов ((2\pi)).

Теперь разберём точки ( \frac{5\pi}{2} ) и ( \frac{7\pi}{2} ):

1. Точка ( \frac{5\pi}{2} ):

• Сначала определим, сколько оборотов совершает угол ( \frac{5\pi}{2} ). Полный оборот равен ( 2\pi ), поэтому: [ \frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}. ] Таким образом, ( \frac{5\pi}{2} ) эквивалентен углу ( \frac{\pi}{2} ) на числовой окружности.

• Угол ( \frac{\pi}{2} ) на числовой окружности соответствует точке на положительной оси (OY) (вертикальная ось вверх). В декартовой системе координат эта точка имеет координаты ((0, 1)).

2. Точка ( \frac{7\pi}{2} ):

• Аналогично, определим количество оборотов. Полный оборот составляет ( 2\pi ), поэтому: [ \frac{7\pi}{2} - 2\pi = \frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}. ] Таким образом, ( \frac{7\pi}{2} ) эквивалентен углу ( \frac{3\pi}{2} ) на числовой окружности.

• Угол ( \frac{3\pi}{2} ) на числовой окружности соответствует точке на отрицательной оси (OY) (вертикальная ось вниз). В декартовой системе координат эта точка имеет координаты ((0, -1)).

Итог:

1. Точка ( \frac{5\pi}{2} ) соответствует углу ( \frac{\pi}{2} ) и находится в точке ((0, 1)) на числовой окружности.
2. Точка ( \frac{7\pi}{2} ) соответствует углу ( \frac{3\pi}{2} ) и находится в точке ((0, -1)) на числовой окружности.

Обе точки представляют собой результат нормализации углов, которые превышают ( 2\pi ), за счёт вычитания целых оборотов.

Чтобы понять, где находятся точки ( \frac{5\pi}{2} ) и ( \frac{7\pi}{2} ) на числовой окружности, сначала вспомним, что числовая окружность представляет собой круг, где длина окружности соответствует ( 2\pi ) радианам. Это означает, что значения углов, превышающие ( 2\pi ), можно свести к эквивалентным углам в пределах одного полного оборота.

1. Сведение углов к диапазону ( [0, 2\pi) ):

   • Для угла ( \frac{5\pi}{2} ): [ \frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2} ] Таким образом, ( \frac{5\pi}{2} ) эквивалентен ( \frac{\pi}{2} ).

   • Для угла ( \frac{7\pi}{2} ): [ \frac{7\pi}{2} - 2\pi = \frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} ] Таким образом, ( \frac{7\pi}{2} ) эквивалентен ( \frac{3\pi}{2} ).

2. Определение позиций на окружности:

   Теперь, когда мы привели углы к диапазону ( [0, 2\pi) ), можем определить их положения на окружности:

   • Угол ( \frac{\pi}{2} ) соответствует точке на окружности, находящейся на 90 градусов (или четверть окружности) от положительного направления оси ( X ). Это верхняя точка окружности, координаты которой равны ( (0, 1) ).

   • Угол ( \frac{3\pi}{2} ) соответствует точке на окружности, находящейся на 270 градусов (или трех четвертей окружности) от положительного направления оси ( X ). Это нижняя точка окружности, координаты которой равны ( (0, -1) ).

Таким образом, точки ( \frac{5\pi}{2} ) и ( \frac{7\pi}{2} ) находятся на числовой окружности соответственно в следующих позициях:

• ( \frac{5\pi}{2} ): ( (0, 1) )
• ( \frac{7\pi}{2} ): ( (0, -1) )