F(x)=корень х-8/х-2 найдите область определения выражения

Для нахождения области определения функции ( F(x) = \frac{\sqrt{x} - 8}{x - 2} ) необходимо учесть несколько условий:

1. Условие для корня: В выражении присутствует квадратный корень, а следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Для функции ( \sqrt{x} ) это условие выглядит так: [ x \geq 0 ]

2. Условие для знаменателя: Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поскольку деление на ноль не определено. Поэтому нужно решить уравнение: [ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 ]

Теперь объединим оба условия:

• Первое условие ( x \geq 0 ) указывает, что ( x ) может принимать любые неотрицательные значения.
• Второе условие ( x \neq 2 ) говорит нам, что ( x ) не может быть равен 2.

Таким образом, область определения функции ( F(x) ) будет включать все неотрицательные числа, кроме 2. В математическом виде это можно записать как: [ D(F) = [0, 2) \cup (2, +\infty) ]

Это значит, что функция определена для всех ( x ) от 0 до 2 (не включая 2) и для всех ( x ) больше 2.

Чтобы определить область определения функции ( F(x) = \sqrt{\frac{x - 8}{x - 2}} ), нужно установить, при каких значениях переменной ( x ) данное выражение имеет смысл. Для этого требуется учитывать два ключевых ограничения:

1. Ограничение на знаменатель дроби: знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно.
2. Ограничение на подкоренное выражение: выражение под корнем должно быть больше или равно нулю, так как квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел не определён.

Теперь разберёмся пошагово.

1. Ограничение на знаменатель

В выражении (\frac{x - 8}{x - 2}) знаменатель — это (x - 2). Следовательно, чтобы избежать деления на ноль, (x - 2 \neq 0). Отсюда: [ x \neq 2. ]

2. Ограничение на подкоренное выражение

Подкоренное выражение — это (\frac{x - 8}{x - 2}). Чтобы корень существовал, нужно: [ \frac{x - 8}{x - 2} \geq 0. ] Для решения данного неравенства рассмотрим числитель ((x - 8)) и знаменатель ((x - 2)) отдельно. Здесь важно определить знаки обеих частей дроби и их произведение. Для этого применим метод интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

1. (x - 8 = 0 \implies x = 8) (числитель обращается в ноль).
2. (x - 2 = 0 \implies x = 2) (знаменатель обращается в ноль).

Разбиваем числовую прямую на интервалы с учётом точек (x = 2) и (x = 8):

• Интервалы: ((-\infty, 2)), ((2, 8)), ((8, +\infty)).

Определим знаки на каждом интервале:

1. На интервале ((-\infty, 2)):

   • (x - 8 < 0) (числитель отрицателен).
   • (x - 2 < 0) (знаменатель отрицателен).
   • Дробь (\frac{x - 8}{x - 2} > 0) (отношение двух отрицательных чисел положительно).

2. На интервале ((2, 8)):

   • (x - 8 < 0) (числитель отрицателен).
   • (x - 2 > 0) (знаменатель положителен).
   • Дробь (\frac{x - 8}{x - 2} < 0) (отношение отрицательного и положительного числа отрицательно).

3. На интервале ((8, +\infty)):

   • (x - 8 > 0) (числитель положителен).
   • (x - 2 > 0) (знаменатель положителен).
   • Дробь (\frac{x - 8}{x - 2} > 0) (отношение двух положительных чисел положительно).

Учёт равенства нулю:

• При (x = 8), (\frac{x - 8}{x - 2} = 0), что допустимо, так как подкоренное выражение может быть равно нулю.
• При (x = 2), (\frac{x - 8}{x - 2}) не определено, так как знаменатель обращается в ноль.

Итоговое решение

Область определения функции — это те значения (x), для которых (\frac{x - 8}{x - 2} \geq 0). С учётом решения неравенства и исключения точки (x = 2), получаем: [ x \in (-\infty, 2) \cup [8, +\infty). ]

Ответ:

Область определения функции: [ (-\infty, 2) \cup [8, +\infty). ]