F(x) = e^x(2x-3) f'(x) = e^x(2x-1) Найдите экстремумы этой производной.

Для нахождения экстремумов производной f'(x) = e^x(2x-1) необходимо найти ее корни. Для этого приравняем производную к нулю и найдем x:

e^x(2x-1) = 0 2e^x - e^x = 0 e^x = 0

Так как экспонента никогда не равна нулю, то уравнение e^x = 0 не имеет решений. Следовательно, у производной f'(x) = e^x(2x-1) нет экстремумов.

f'(x) = e^x(2x-1)

Чтобы найти экстремумы производной, найдем ее нули:

e^x(2x-1) = 0

Так как экспонента никогда не равна нулю, то нуль производной будет при x = 1/2.

Проверим эту точку на экстремумы с помощью второй производной:

f''(x) = e^x(2)

f''(1/2) = e^(1/2)(2) > 0

Так как вторая производная положительна, то точка x = 1/2 является точкой минимума функции f(x) = e^x(2x-3).

Для нахождения экстремумов функции, в данном случае производной f'(x) = e^x(2x-1), необходимо найти её критические точки. Критические точки находятся путём решения уравнения f''(x) = 0, где f''(x) — вторая производная функции f(x).

Первый шаг — найти вторую производную f''(x). Для этого применим правило произведения и правило дифференцирования экспоненциальной функции:

f'(x) = e^x(2x - 1).

Теперь найдём f''(x):

f''(x) = d/dx [e^x(2x - 1)].

Применим правило произведения: если u(x) = e^x и v(x) = 2x - 1, то

f''(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Где u'(x) = e^x (производная от e^x) и v'(x) = 2 (производная от 2x - 1).

Подставим:

f''(x) = e^x(2x - 1) + e^x * 2.

Объединим общие множители:

f''(x) = e^x[(2x - 1) + 2] = e^x(2x + 1).

Теперь найдём критические точки:

e^x(2x + 1) = 0.

Поскольку e^x никогда не равно нулю для любого x, решаем только:

2x + 1 = 0.

2x = -1,

x = -1/2.

Это единственная критическая точка для f''(x).

Теперь определим характер этой критической точки (минимум или максимум) с помощью теста на второй производной. Знак f''(x) в окрестности x = -1/2 определит характер экстремума:

• Если f''(x) > 0 в окрестности точки, то это минимум.
• Если f''(x) < 0 в окрестности точки, то это максимум.

Поскольку f''(x) = e^x(2x + 1), подставим значения чуть меньше и чуть больше -1/2:

1. Для x < -1/2, например x = -1, имеем 2x + 1 = 2(-1) + 1 = -1. Поскольку e^x всегда положительно, f''(x) < 0.
2. Для x > -1/2, например x = 0, имеем 2x + 1 = 2(0) + 1 = 1. Поскольку e^x всегда положительно, f''(x) > 0.

Таким образом, при x = -1/2 f''(x) меняет знак с отрицательного на положительный, что указывает на наличие минимума.

Следовательно, экстремум (минимум) функции f'(x) = e^x(2x - 1) находится в точке x = -1/2.