F(x)= -3x^3+6x^2+5x найти промежутки убывания,функции F(x)= 3x^2 -5 найти все перваобразные F

Конечно, давайте разберём эти задачи по алгебре.

1. Нахождение промежутков убывания функции ( F(x) = -3x^3 + 6x^2 + 5x )

Для того чтобы найти промежутки убывания функции, необходимо определить, где её производная отрицательна. Шаги следующие:

1. Найдём производную функции ( F(x) ): [ F'(x) = \frac{d}{dx}(-3x^3 + 6x^2 + 5x) = -9x^2 + 12x + 5. ]

2. Найдём критические точки, решая уравнение ( F'(x) = 0 ): [ -9x^2 + 12x + 5 = 0. ] Используем формулу для решения квадратных уравнений: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = -9 ), ( b = 12 ), ( c = 5 ).

   [ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot (-9) \cdot 5}}{2 \cdot (-9)} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 180}}{-18} = \frac{-12 \pm \sqrt{324}}{-18}. ] [ x = \frac{-12 \pm 18}{-18}. ] Это даёт нам два корня: [ x_1 = \frac{-12 + 18}{-18} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-12 - 18}{-18} = \frac{5}{3}. ]

3. Определяем знаки производной в промежутках, созданных критическими точками: ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ), ( (-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}) ), ( (\frac{5}{3}, \infty) ).

   • Для ( x \in (-\infty, -\frac{1}{3}) ), выберем тестовую точку ( x = -1 ): [ F'(-1) = -9(-1)^2 + 12(-1) + 5 = -9 - 12 + 5 = -16. ] Здесь ( F'(x) < 0 ), значит функция убывает.

   • Для ( x \in (-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}) ), выберем тестовую точку ( x = 0 ): [ F'(0) = -9(0)^2 + 12(0) + 5 = 5. ] Здесь ( F'(x) > 0 ), значит функция возрастает.

   • Для ( x \in (\frac{5}{3}, \infty) ), выберем тестовую точку ( x = 2 ): [ F'(2) = -9(2)^2 + 12(2) + 5 = -36 + 24 + 5 = -7. ] Здесь ( F'(x) < 0 ), значит функция убывает.

Таким образом, функция убывает на промежутках ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) и ( (\frac{5}{3}, \infty) ).

2. Нахождение всех первообразных функции ( F(x) = 3x^2 - 5 )

Первообразная, или неопределённый интеграл, функции ( F(x) ) обозначается как ( \int F(x) \, dx ).

1. Интегрируем каждый член функции: [ \int (3x^2 - 5) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 5 \, dx. ]

2. Вычисляем интегралы:

   • Для ( \int 3x^2 \, dx ), применяем правило интегрирования ( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ): [ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = x^3. ]
   • Для ( \int 5 \, dx ), интеграл от константы: [ \int 5 \, dx = 5x. ]

3. Записываем общую первообразную: [ \int (3x^2 - 5) \, dx = x^3 - 5x + C, ] где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, все первообразные функции ( F(x) = 3x^2 - 5 ) имеют вид ( x^3 - 5x + C ).

(x) = -3x^3 + 6x^2 + 5x

Для нахождения промежутков убывания функции необходимо найти производную функции и найти ее корни. Для функции F(x) производная будет равна F'(x) = -9x^2 + 12x + 5. Найдем корни этого уравнения:

-9x^2 + 12x + 5 = 0

D = 12^2 - 4(-9)5 = 144 + 180 = 324

x = (-12 + sqrt(324)) / (-18) = (12 + 18) / (-18) = -1

x = (-12 - sqrt(324)) / (-18) = (12 - 18) / (-18) = 1

Таким образом, корни уравнения F'(x) = 0 равны -1 и 1. Теперь можем построить таблицу знаков производной и определить промежутки убывания функции:

x < -1: F'(-2) = (-9(-2)^2 + 12(-2) + 5) = 36 - 24 + 5 = 17 > 0 -1 < x < 1: F'(0) = (-90^2 + 120 + 5) = 5 > 0 x > 1: F'(2) = (-92^2 + 122 + 5) = 36 + 24 + 5 = 65 > 0

Из таблицы знаков видно, что функция F(x) убывает на промежутках (-∞, -1) и (1, +∞).

Для функции F(x) = 3x^2 - 5 необходимо найти все первообразные. Первообразная функции - это функция, производная которой равна данной функции. Для функции F(x) = 3x^2 - 5 первообразной будет функция G(x) = x^3 - 5x + C, где C - произвольная постоянная.

(x)= -3x^3+6x^2+5x убывает на промежутках (-бесконечность, 1) и (2, +бесконечность).

Первообразные функции для F(x)= 3x^2 -5: F(x) = x^3 - 5x + C, где C - произвольная постоянная.