Функция задана формулой f$x$ = x-5/x+1. а) Найдите f$1$ б) Определите, при каких значениях х выполняется...

а) Чтобы найти f$1$, нужно подставить значение x=1 в формулу функции: f$1$ = 1 - 5 / 1 + 1 = -4/2 = -2.

б) Для определения значений x, при которых f$x$ = -1, подставим -1 в формулу функции и решим уравнение: -1 = x - 5 / x + 1. Умножим обе части на x + 1, получим -x - 1 = x - 5. Теперь сгруппируем x: 2x = 4, x = 2. Таким образом, равенство f$x$ = -1 выполняется при x = 2.

в) Областью определения функции f$x$ являются все значения x, при которых знаменатель функции не равен нулю, то есть x ≠ -1. Нули функции - это значения x, при которых f$x$ = 0. Решим уравнение f$x$ = 0: x - 5 / x + 1 = 0. Умножим обе части на x + 1, получим x - 5 = 0, x = 5. Таким образом, областью определения функции f$x$ является множество всех действительных чисел, кроме -1, а нулями функции является x = 5.

Конечно, давайте разберемся с заданной функцией $f(x$ = \frac{x-5}{x+1} ).

а) Найдите $f(1$ ).

Чтобы найти $f(1$ ), подставим $x=1$ в формулу функции:

$f(1)=\frac{1-5}{1+1}=\frac{-4}{2}=-2$

Итак, $f(1$ = -2 ).

б) Определите, при каких значениях $x$ выполняется равенство $f(x$ = -1 ).

Для этого решим уравнение:

$\frac{x-5}{x+1}=-1$

Перенесем выражение справа влево и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x-5}{x+1}+1=0$

$\frac{x-5}{x+1}+\frac{x+1}{x+1}=0$

$\frac{x-5+x+1}{x+1}=0$

$\frac{2x-4}{x+1}=0$

Числитель должен быть равен нулю, чтобы дробь была равна нулю:

$2x-4=0$

Решаем уравнение:

$2x=4$ $x=2$

Таким образом, при $x=2$ выполняется равенство $f(x$ = -1 ).

в) Найдите область определения и нули функции.

Область определения функции определяется теми значениями $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x+1$ не должен быть равен нулю:

$x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$

Таким образом, область определения функции: $x\in \mathbb{R}\setminus -1$.

Теперь найдем нули функции, то есть значения $x$, при которых $f(x$ = 0 ):

$\frac{x-5}{x+1}=0$

Это возможно, когда числитель равен нулю:

$x-5=0$

Решим уравнение:

$x=5$

Таким образом, нуль функции — это $x=5$.

Подытожим:

• $f(1$ = -2 )
• $f(x$ = -1 ) при $x=2$
• Область определения: $x\in \mathbb{R}\setminus -1$
• Нуль функции: $x=5$