Функция задана формулой f(x) = x-5/x+1. а) Найдите f(1) б) Определите, при каких значениях х выполняется...

а) Чтобы найти f(1), нужно подставить значение x=1 в формулу функции: f(1) = 1 - 5 / 1 + 1 = -4/2 = -2.

б) Для определения значений x, при которых f(x) = -1, подставим -1 в формулу функции и решим уравнение: -1 = x - 5 / x + 1. Умножим обе части на x + 1, получим -x - 1 = x - 5. Теперь сгруппируем x: 2x = 4, x = 2. Таким образом, равенство f(x) = -1 выполняется при x = 2.

в) Областью определения функции f(x) являются все значения x, при которых знаменатель функции не равен нулю, то есть x ≠ -1. Нули функции - это значения x, при которых f(x) = 0. Решим уравнение f(x) = 0: x - 5 / x + 1 = 0. Умножим обе части на x + 1, получим x - 5 = 0, x = 5. Таким образом, областью определения функции f(x) является множество всех действительных чисел, кроме -1, а нулями функции является x = 5.

Конечно, давайте разберемся с заданной функцией ( f(x) = \frac{x-5}{x+1} ).

а) Найдите ( f(1) ).

Чтобы найти ( f(1) ), подставим ( x = 1 ) в формулу функции:

[ f(1) = \frac{1-5}{1+1} = \frac{-4}{2} = -2 ]

Итак, ( f(1) = -2 ).

б) Определите, при каких значениях ( x ) выполняется равенство ( f(x) = -1 ).

Для этого решим уравнение:

[ \frac{x-5}{x+1} = -1 ]

Перенесем выражение справа влево и приведем к общему знаменателю:

[ \frac{x-5}{x+1} + 1 = 0 ]

[ \frac{x-5}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = 0 ]

[ \frac{x-5+x+1}{x+1} = 0 ]

[ \frac{2x-4}{x+1} = 0 ]

Числитель должен быть равен нулю, чтобы дробь была равна нулю:

[ 2x - 4 = 0 ]

Решаем уравнение:

[ 2x = 4 ] [ x = 2 ]

Таким образом, при ( x = 2 ) выполняется равенство ( f(x) = -1 ).

в) Найдите область определения и нули функции.

Область определения функции определяется теми значениями ( x ), при которых знаменатель не равен нулю. Знаменатель ( x+1 ) не должен быть равен нулю:

[ x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 ]

Таким образом, область определения функции: ( x \in \mathbb{R} \setminus {-1} ).

Теперь найдем нули функции, то есть значения ( x ), при которых ( f(x) = 0 ):

[ \frac{x-5}{x+1} = 0 ]

Это возможно, когда числитель равен нулю:

[ x-5 = 0 ]

Решим уравнение:

[ x = 5 ]

Таким образом, нуль функции — это ( x = 5 ).

Подытожим:

• ( f(1) = -2 )
• ( f(x) = -1 ) при ( x = 2 )
• Область определения: ( x \in \mathbb{R} \setminus {-1} )
• Нуль функции: ( x = 5 )