Двое рабочих работая вместе выполнили работу за 12 часов. За сколько часов выполнит это задание каждый...

Пусть скорость работы первого рабочего равна ( x ) (в единицах работы в час), а скорость работы второго рабочего, который на 7 часов медленнее, равна ( y ). Из условия задачи знаем, что один рабочий работает на 7 часов быстрее другого, что можно выразить как:

[ y = x + 7 ]

Также нам известно, что вместе они выполняют работу за 12 часов. Это означает, что их совместная скорость работы равна:

[ x + y = \frac{1}{12} ]

Теперь подставим выражение для ( y ) в уравнение совместной скорости:

[ x + (x + 7) = \frac{1}{12} ]

Упростим это уравнение:

[ 2x + 7 = \frac{1}{12} ]

Теперь умножим обе стороны уравнения на 12, чтобы избавиться от дроби:

[ 12(2x + 7) = 1 ]

Раскроем скобки:

[ 24x + 84 = 1 ]

Теперь перенесем 84 на правую сторону:

[ 24x = 1 - 84 ] [ 24x = -83 ]

Теперь разделим обе стороны на 24:

[ x = \frac{-83}{24} ]

Однако это значение не имеет физического смысла в контексте данной задачи, так как скорость работы не может быть отрицательной. Давайте пересмотрим наш подход.

Для решения задачи правильнее будет использовать подход с количеством работы, которую выполняет каждый рабочий за 1 час. Если обозначим время, за которое первый рабочий выполняет работу, как ( t_1 ), а время, за которое второй рабочий выполняет работу, как ( t_2 ), тогда:

[ t_2 = t_1 + 7 ]

Скорости работы будут:

[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} ]

Подставим ( t_2 ):

[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 7} = \frac{1}{12} ]

Умножим обе стороны на ( 12t_1(t_1 + 7) ):

[ 12(t_1 + 7) + 12t_1 = t_1(t_1 + 7) ]

Раскроем скобки:

[ 12t_1 + 84 + 12t_1 = t_1^2 + 7t_1 ]

Объединим подобные:

[ 24t_1 + 84 = t_1^2 + 7t_1 ]

Переносим все в одну сторону уравнения:

[ t_1^2 - 17t_1 - 84 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 289 + 336 = 625 ]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня:

[ t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 25}{2} ]

Находим корни:

1. ( t_1 = \frac{42}{2} = 21 )
2. ( t_1 = \frac{-8}{2} = -4 ) (отрицательное значение не имеет смысла)

Таким образом, ( t_1 = 21 ) часов. Теперь найдем ( t_2 ):

[ t_2 = t_1 + 7 = 21 + 7 = 28 \text{ часов} ]

Таким образом, первый рабочий выполнит работу за 21 час, а второй — за 28 часов.

Решим задачу, используя метод рациональных уравнений.

Условие:

Два рабочих, работая вместе, выполнили работу за 12 часов. Если одному из них требуется на 7 часов меньше времени для выполнения той же работы в одиночку, чем другому, нужно найти, за сколько времени каждый рабочий выполнит эту работу самостоятельно.

Решение:

1. Обозначим за переменную время работы:

   Пусть первый рабочий может выполнить всю работу самостоятельно за ( x ) часов. Тогда второй рабочий выполнит ту же работу за ( x + 7 ) часов, потому что он работает медленнее.

1. Найдём производительность каждого рабочего:

   За 1 час первый рабочий выполняет (\frac{1}{x}) части всей работы (его производительность).
   За 1 час второй рабочий выполняет (\frac{1}{x+7}) части всей работы.

1. Составим уравнение:

   Так как они, работая вместе, выполнили всю работу за 12 часов, их совместная производительность равна (\frac{1}{12}). Составим уравнение:

   [ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+7} = \frac{1}{12}. ]

1. Приведём уравнение к общему знаменателю:

   Общий знаменатель для дробей (\frac{1}{x}) и (\frac{1}{x+7}) равен (x(x+7)). Преобразуем уравнение:

   [ \frac{x+7}{x(x+7)} + \frac{x}{x(x+7)} = \frac{1}{12}. ]

   Объединим дроби в левой части:

   [ \frac{x + 7 + x}{x(x+7)} = \frac{1}{12}. ]

   [ \frac{2x + 7}{x(x+7)} = \frac{1}{12}. ]

1. Уберём знаменатели (умножим обе части уравнения на (12x(x+7))):

   [ 12(2x + 7) = x(x + 7). ]

   Раскроем скобки:

   [ 24x + 84 = x^2 + 7x. ]

1. Приведём уравнение к стандартному виду:

   [ x^2 + 7x - 24x - 84 = 0. ]

   [ x^2 - 17x - 84 = 0. ]

1. Решим квадратное уравнение:

   Уравнение (x^2 - 17x - 84 = 0) решим с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

   [ D = b^2 - 4ac. ]

   Здесь (a = 1), (b = -17), (c = -84). Подставим значения:

   [ D = (-17)^2 - 4(1)(-84) = 289 + 336 = 625. ]

   Найдём корни квадратного уравнения:

   [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

   Подставим (a = 1), (b = -17), (D = 625):

   [ x = \frac{-(-17) \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm 25}{2}. ]

   Найдём два корня:

   [ x_1 = \frac{17 + 25}{2} = \frac{42}{2} = 21, ]

   [ x_2 = \frac{17 - 25}{2} = \frac{-8}{2} = -4. ]

1. Выбор подходящего корня:

   Так как время не может быть отрицательным, принимаем (x = 21).

1. Ответ:

   Первый рабочий выполнит работу за (x = 21) час.
   Второй рабочий выполнит работу за (x + 7 = 21 + 7 = 28) часов.

Проверка:
За 1 час первый выполняет (\frac{1}{21}) работы, второй — (\frac{1}{28}). Их совместная производительность:

[ \frac{1}{21} + \frac{1}{28} = \frac{4}{84} + \frac{3}{84} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12}. ]

Совпадает с условием задачи.

Ответ: Первый рабочий выполнит работу за 21 час, второй — за 28 часов.