Докажите,что для любых альфа справедливо равенство: cos a(pi -a)=-cos a

Для любого угла альфа справедливо равенство: cos(a)(π - a) = -cos(a).

Чтобы доказать, что для любого угла (\alpha) справедливо равенство (\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha), воспользуемся тригонометрическими формулами.

1. Формула приведения: Формула приведения для косинуса говорит, что (\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha). Это связано с тем, что (\pi - \alpha) — это угол, который находится во второй четверти тригонометрической окружности. В этой четверти косинус положительного угла равен отрицательному косинусу соответствующего угла в первой четверти.

2. Геометрическая интерпретация: Рассмотрим единичную окружность. Угол (\alpha) определяется как угол между положительным направлением оси (x) и радиус-вектором, соответствующим точке на окружности. Косинус угла (\alpha) — это абсцисса этой точки.

   Угол (\pi - \alpha) находится симметрично относительно оси (y) в пределах первой и второй четвертей. Поскольку симметрия относительно оси (y) меняет знак абсциссы, мы получаем, что (\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha).

3. Алгебраическое обоснование: Поскольку (\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha), мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: [ \cos(\pi - \alpha) = \cos \pi \cos \alpha + \sin \pi \sin \alpha ] Зная, что (\cos \pi = -1) и (\sin \pi = 0), мы имеем: [ \cos(\pi - \alpha) = (-1) \cdot \cos \alpha + 0 \cdot \sin \alpha = -\cos \alpha ]

Таким образом, мы доказали, что для любого угла (\alpha) верно равенство (\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha) как с помощью формул приведения, так и с геометрической и алгебраической точек зрения.

Для доказательства равенства cos(a)(π - a) = -cos(a) воспользуемся формулой для косинуса разности двух углов: cos(π - a) = -cos(a). Подставим это равенство в исходное выражение:

cos(a)(π - a) = cos(a)π - cos(a)a = -cos(a)a = -cos(a)

Таким образом, мы доказали исходное равенство для любого значения угла альфа.