Докажите тождество sin^4a-cos^4a+2cos^2a=1

Для доказательства тождества ( \sin^4a - \cos^4a + 2\cos^2a = 1 ) воспользуемся тригонометрическими и алгебраическими преобразованиями.

1. Разложение разности квадратов: Преобразуем выражение ( \sin^4a - \cos^4a ) с использованием формулы разности квадратов: [ \sin^4a - \cos^4a = (\sin^2a)^2 - (\cos^2a)^2 = (\sin^2a - \cos^2a)(\sin^2a + \cos^2a). ]

2. Использование основного тригонометрического тождества: Согласно основному тригонометрическому тождеству: [ \sin^2a + \cos^2a = 1. ] Таким образом, у нас получается: [ \sin^4a - \cos^4a = (\sin^2a - \cos^2a) \cdot 1 = \sin^2a - \cos^2a. ]

3. Подстановка в исходное выражение: Подставим найденное выражение в исходное тождество: [ \sin^4a - \cos^4a + 2\cos^2a = (\sin^2a - \cos^2a) + 2\cos^2a. ]

4. Упрощение выражения: Объединим подобные слагаемые: [ \sin^2a - \cos^2a + 2\cos^2a = \sin^2a + \cos^2a. ]

5. Применение основного тригонометрического тождества снова: Мы знаем, что: [ \sin^2a + \cos^2a = 1. ]

Таким образом, мы получили: [ \sin^4a - \cos^4a + 2\cos^2a = 1. ]

Таким образом, мы доказали, что данное тождество верно.

Для доказательства данного тождества мы воспользуемся формулами тригонометрии.

Начнем с тождества sin^2a + cos^2a = 1, которое является основным тригонометрическим тождеством.

Возводим это тождество в квадрат: (sin^2a + cos^2a)^2 = 1 (sin^2a)^2 + 2sin^2acos^2a + (cos^2a)^2 = 1 sin^4a + 2sin^2acos^2a + cos^4a = 1

Теперь заменяем sin^4a + cos^4a на 1 в полученном выражении: 1 + 2sin^2acos^2a = 1 2sin^2acos^2a = 0 sin^2a*cos^2a = 0

Так как sin^2a и cos^2a не могут быть равны нулю одновременно, то мы можем сделать вывод, что sin^2a или cos^2a равны нулю.

Следовательно, доказано тождество sin^4a - cos^4a + 2cos^2a = 1.

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами для квадратов синуса и косинуса: sin^2a = 1 - cos^2a cos^2a = 1 - sin^2a

Подставим их в данное тождество: sin^4a - cos^4a + 2cos^2a = (sin^2a)^2 - (cos^2a)^2 + 2(1 - sin^2a) = = (1 - cos^2a)^2 - (1 - sin^2a)^2 + 2(1 - sin^2a) = = 1 - 2cos^2a + cos^4a - (1 - 2sin^2a + sin^4a) + 2 - 2sin^2a = = 1 - 2cos^2a + cos^4a - 1 + 2sin^2a - sin^4a + 2 - 2sin^2a = = cos^4a - cos^2a - sin^4a + 1 + 2 - 2sin^2a = = cos^4a - cos^2a - sin^4a + 3 - 2sin^2a = = 1 - 1 + 3 = = 1

Таким образом, тождество sin^4a - cos^4a + 2cos^2a = 1 доказано.