Докажите тождество sin^2a(1+ctg^2a)-cos^2a=sin^2a

Чтобы доказать тождество (\sin^2 a (1 + \cot^2 a) - \cos^2 a = \sin^2 a), начнем с левой части уравнения и упростим ее.

1. Раскрытие скобок:

   [ \sin^2 a (1 + \cot^2 a) = \sin^2 a + \sin^2 a \cdot \cot^2 a ]

2. Выражение (\cot^2 a) через (\sin a) и (\cos a):

   Напомним, что (\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}), следовательно, (\cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}).

3. Подстановка (\cot^2 a) в уравнение:

   [ \sin^2 a \cdot \cot^2 a = \sin^2 a \cdot \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \cos^2 a ]

4. Подставляем обратно в выражение:

   [ \sin^2 a (1 + \cot^2 a) = \sin^2 a + \cos^2 a ]

5. Учитываем вторую часть левой стороны:

   Теперь возвращаемся к первоначальному выражению:

   [ \sin^2 a + \cos^2 a - \cos^2 a ]

6. Упрощение выражения:

   [ \sin^2 a + \cos^2 a - \cos^2 a = \sin^2 a ]

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного уравнения действительно равна его правой части:

[ \sin^2 a (1 + \cot^2 a) - \cos^2 a = \sin^2 a ]

Следовательно, тождество доказано.

Для того чтобы доказать данное тождество, давайте разложим левую часть уравнения по формулам тригонометрии.

sin^2a(1+ctg^2a)-cos^2a sin^2a (1 + (1/tan(a))^2) - cos^2a sin^2a (1 + (1/(sin(a)/cos(a)))^2) - cos^2a sin^2a (1 + (cos(a)/sin(a))^2) - cos^2a sin^2a (1 + cos^2(a)/sin^2(a)) - cos^2a sin^2a + sin^2a * cos^2(a)/sin^2(a) - cos^2a sin^2a + cos^2a - cos^2a sin^2a

Таким образом, мы доказали, что левая часть уравнения равна sin^2a, что и требовалось доказать.

sin^2a(1+ctg^2a)-cos^2a=sin^2a ctg^2a = 1/cos^2a sin^2a(1+1/cos^2a)-cos^2a = sin^2a sin^2a + sin^2a/cos^2a - cos^2a = sin^2a sin^2a + tan^2a - cos^2a = sin^2a (sin^2a - cos^2a) + tan^2a = sin^2a -sin^2a + tan^2a = sin^2a sin^2a = sin^2a