Докажите тождество ctg^2 a - cos^2 a = ctg^2 a * cos^2 a

Для доказательства данного тождества используем основные тригонометрические идентичности и свойства. Начнем с левой стороны тождества и попробуем преобразовать ее так, чтобы получить правую сторону.

Тождество, которое необходимо доказать: [ \cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha ]

1. Воспользуемся определением котангенса через синус и косинус: [ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} ] Тогда: [ \cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} ]

2. Подставим выражение для (\cot^2 \alpha) в левую сторону исходного тождества: [ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha ]

3. Приведем выражение к общему знаменателю: [ \frac{\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} ]

4. Используем основное тригонометрическое тождество ( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ): [ \cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha \cos^2 \alpha ] [ \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} ]

5. Теперь выразим это через (\cot^2 \alpha) и (\cos^2 \alpha): [ \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \left(\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right) \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha ]

Таким образом, мы преобразовали левую сторону исходного тождества и показали, что она равна правой стороне: [ \cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha ]

Тождество доказано.

Для доказательства данного тождества используем тригонометрические свойства и определения тангенса и котангенса. Рассмотрим левую часть уравнения:

ctg^2 a - cos^2 a = (1/tg^2 a) - cos^2 a = (cos^2 a/sin^2 a) - cos^2 a = cos^2 a(sen^2 a - cos^2 a) = cos^2 a * ctg^2 a,

Что соответствует правой части уравнения. Таким образом, тождество ctg^2 a - cos^2 a = ctg^2 a * cos^2 a доказано.

Для доказательства данного тождества воспользуемся определениями тригонометрических функций.

Имеем: ctg^2 a - cos^2 a = (1/tg a)^2 - cos^2 a = (cos^2 a/sin^2 a) - cos^2 a = cos^2 a/sin^2 a - cos^2 a = (cos^2 a - cos^2 a sin^2 a)/sin^2 a = cos^2 a(1 - sin^2 a)/sin^2 a = cos^2 a cos^2 a/sin^2 a = cos^2 a * ctg^2 a

Таким образом, тождество ctg^2 a - cos^2 a = ctg^2 a * cos^2 a доказано.