Докажите тождество ctg^2 a - cos^2 a = ctg^2 a * cos^2 a

Для доказательства данного тождества используем основные тригонометрические идентичности и свойства. Начнем с левой стороны тождества и попробуем преобразовать ее так, чтобы получить правую сторону.

Тождество, которое необходимо доказать: ${\cot }^2\alpha -{\cos }^2\alpha ={\cot }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha$

1. Воспользуемся определением котангенса через синус и косинус: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ Тогда: ${\cot }^2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$

2. Подставим выражение для ${\cot }^2\alpha$ в левую сторону исходного тождества: $\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }-{\cos }^2\alpha$

3. Приведем выражение к общему знаменателю: $\frac{{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\alpha {\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha (1-{\sin }^2\alpha )}{{\sin }^2\alpha }$

4. Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$: ${\cos }^2\alpha (1-{\sin }^2\alpha )={\cos }^2\alpha {\cos }^2\alpha$ $\frac{{\cos }^4\alpha }{{\sin }^2\alpha }$

5. Теперь выразим это через ${\cot }^2\alpha$ и ${\cos }^2\alpha$: $\frac{{\cos }^4\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\left(\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }\right){\cos }^2\alpha ={\cot }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha$

Таким образом, мы преобразовали левую сторону исходного тождества и показали, что она равна правой стороне: ${\cot }^2\alpha -{\cos }^2\alpha ={\cot }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha$

Тождество доказано.

Для доказательства данного тождества используем тригонометрические свойства и определения тангенса и котангенса. Рассмотрим левую часть уравнения:

ctg^2 a - cos^2 a = $1/t{g}^{2}a$ - cos^2 a = $co{s}^{2}a/si{n}^{2}a$ - cos^2 a = cos^2 a$se{n}^{2}a-co{s}^{2}a$ = cos^2 a * ctg^2 a,

Что соответствует правой части уравнения. Таким образом, тождество ctg^2 a - cos^2 a = ctg^2 a * cos^2 a доказано.

Для доказательства данного тождества воспользуемся определениями тригонометрических функций.

Имеем: ctg^2 a - cos^2 a = $1/tga$^2 - cos^2 a = $co{s}^{2}a/si{n}^{2}a$ - cos^2 a = cos^2 a/sin^2 a - cos^2 a = (cos^2 a - cos^2 a sin^2 a)/sin^2 a = cos^2 a$1-si{n}^{2}a$/sin^2 a = cos^2 a cos^2 a/sin^2 a = cos^2 a * ctg^2 a

Таким образом, тождество ctg^2 a - cos^2 a = ctg^2 a * cos^2 a доказано.