Докажите тождество an= a1+(n-1)d ( формула n-го члена арифметической прогрессии) методом математической...

Докажем тождество ( a_n = a_1 + (n-1)d ) для ( n )-го члена арифметической прогрессии методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции (( n = 1 ))

Для ( n = 1 ) формула принимает вид: [ a_1 = a_1 + (1-1)d. ] Упростим правую часть: [ a_1 = a_1 + 0. ] Это верно, так как обе стороны равны ( a_1 ). Таким образом, база индукции доказана.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что формула справедлива для некоторого натурального числа ( k ). То есть: [ a_k = a_1 + (k-1)d. ] Это наше индуктивное предположение.

Шаг 3: Индуктивный переход (( n = k+1 ))

Докажем, что формула верна для ( n = k+1 ), то есть: [ a_{k+1} = a_1 + (k+1-1)d = a_1 + kd. ]

По определению арифметической прогрессии, каждый последующий член равен предыдущему члену, увеличенному на разность ( d ). Для ( a{k+1} ) имеем: [ a{k+1} = a_k + d. ]

Подставим ( ak ) из индуктивного предположения: [ a{k+1} = \big(a_1 + (k-1)d\big) + d. ]

Упростим выражение: [ a_{k+1} = a_1 + (k-1)d + d = a_1 + kd. ]

Это совпадает с формулой для ( a{k+1} ): [ a{k+1} = a_1 + kd. ]

Таким образом, формула верна для ( n = k+1 ).

Вывод

На основании математической индукции мы доказали, что формула ( a_n = a_1 + (n-1)d ) верна для всех натуральных чисел ( n ).

Для доказательства тождества ( a_n = a_1 + (n-1)d ) методом математической индукции, следуем стандартной процедуре.

Шаг 1: База индукции

Начнем с проверки базового случая, когда ( n = 1 ).

Подставим ( n = 1 ) в формулу:

[ a_1 = a_1 + (1-1)d = a_1 + 0 = a_1 ]

Это верно, т.к. ( a_1 = a_1 ). Таким образом, база индукции выполняется.

Шаг 2: Индукционное предположение

Теперь предположим, что формула верна для некоторого ( n = k ), т.е.

[ a_k = a_1 + (k-1)d ]

Шаг 3: Индукционный шаг

Теперь нужно доказать, что формула верна для ( n = k + 1 ):

[ a_{k+1} = a_1 + (k)d ]

В арифметической прогрессии каждый следующий член равен предыдущему члену плюс разность прогрессии ( d ). Таким образом, можно записать:

[ a_{k+1} = a_k + d ]

Теперь подставим индукционное предположение:

[ a_{k+1} = (a_1 + (k-1)d) + d ]

Упрощаем правую часть:

[ a_{k+1} = a_1 + (k-1)d + d = a_1 + kd ]

Таким образом, получили, что:

[ a_{k+1} = a_1 + k d ]

Заключение

Мы доказали, что если формула верна для ( n = k ), то она верна и для ( n = k + 1 ). Поскольку база индукции выполнена, а индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции формула ( a_n = a_1 + (n-1)d ) верна для всех натуральных ( n ).

Таким образом, тождество доказано.