Докажите справедливость неравенства: А)x^2+y^2-2x+4y+5>=0 Б) x^4-3x^2-2x+6>0 В) x^2+2+ 1/x^2+2+2...

Давайте докажем каждое из данных неравенств.

А) (x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 \geq 0)

Для доказательства этого неравенства попробуем преобразовать выражение в полный квадрат.

1. Перепишем выражение, выделяя полные квадраты:

   [ x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 ]

2. Выделим полный квадрат для (x):

   [ x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 ]

3. Выделим полный квадрат для (y):

   [ y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4 ]

4. Подставим выделенные квадраты обратно в выражение:

   [ (x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + 5 ]

5. Упростим:

   [ (x-1)^2 + (y+2)^2 - 1 - 4 + 5 = (x-1)^2 + (y+2)^2 ]

Так как сумма квадратов всегда неотрицательна, ((x-1)^2 + (y+2)^2 \geq 0). Следовательно, неравенство доказано.

Б) (x^4 - 3x^2 - 2x + 6 > 0)

Для доказательства этого неравенства рассмотрим функцию (f(x) = x^4 - 3x^2 - 2x + 6) и её поведение.

1. Заметим, что при больших значениях (|x|), доминирующий член (x^4) делает выражение положительным.

2. Проверим поведение функции при некоторых значениях (x):

   • При (x = 0): (f(0) = 6)
   • При (x = 1): (f(1) = 1^4 - 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = 2)
   • При (x = -1): (f(-1) = (-1)^4 - 3 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 6 = 4)

3. Для анализа критических точек найдём производную (f'(x)) и изучим её:

   [ f'(x) = 4x^3 - 6x - 2 ]

   Решим (f'(x) = 0), чтобы найти критические точки:

   [ 4x^3 - 6x - 2 = 0 ]

   Это уравнение нелегко решить аналитически, но мы видим, что (f(x)) положительно в некоторых точках и стремится к бесконечности при больших (|x|).

Следовательно, функция (f(x)) не имеет отрицательных значений, что доказывает неравенство.

В) (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} + 2 + 2 \geq 0)

Немного упростим выражение:

1. Объединим похожие члены:

   [ x^2 + \frac{1}{x^2} + 6 ]

2. Заметим, что выражение (x^2 + \frac{1}{x^2}) всегда не меньше 2, благодаря неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

   [ x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2 ]

3. Следовательно, сумма:

   [ x^2 + \frac{1}{x^2} + 6 \geq 2 + 6 = 8 ]

Таким образом, выражение всегда неотрицательно, и неравенство доказано.

А) Рассмотрим выражение x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5. Преобразуем его к виду (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 1. Таким образом, получаем, что данное выражение равно сумме квадратов двух чисел плюс 1, что всегда неотрицательно или равно нулю. Таким образом, неравенство x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 >= 0 справедливо.

Б) Рассмотрим выражение x^4 - 3x^2 - 2x + 6. Преобразуем его к виду (x^2 - 1)^2 - 2(x + 1). Таким образом, данное выражение равно квадрату разности двух чисел минус 2. Квадрат разности чисел всегда неотрицателен или равен нулю, а вычитание 2 не изменит знак. Следовательно, неравенство x^4 - 3x^2 - 2x + 6 > 0 также справедливо.

В) Рассмотрим выражение x^2 + 2 + 1/x^2 + 2 + 2. Преобразуем его к виду (x - 1/x)^2 + 4. Рассмотрим член (x - 1/x)^2. По неравенству арифметическое-геометрических средних, данное выражение всегда неотрицательно. Таким образом, сумма этого неотрицательного числа и 4 также всегда неотрицательна или равна нулю. Следовательно, неравенство x^2 + 2 + 1/x^2 + 2 + 2 >= 0 верно.