Докажите равенство(корень15+4)/(4-корень15)=31+8 корень15

Для доказательства равенства (корень15 + 4) / (4 - корень15) = 31 + 8 корень15, сначала упростим левую часть уравнения:

(√15 + 4) / (4 - √15) = [(√15 + 4) * (4 + √15)] / [(4 - √15) * (4 + √15)] = (4√15 + 16 + 15 + 4√15) / (16 - 15) = (8√15 + 31) / 1 = 8√15 + 31

Теперь сравним полученный результат с правой частью уравнения:

31 + 8√15

Таким образом, левая и правая части уравнения равны, что доказывает исходное равенство.

Итак, доказано, что (корень15 + 4) / (4 - корень15) = 31 + 8 корень15.

Для того чтобы доказать равенство (\frac{\sqrt{15} + 4}{4 - \sqrt{15}} = 31 + 8\sqrt{15}), начнем с левой части уравнения и приведем её к виду, находящемуся в правой части.

1. Рационализация знаменателя:

   Применим метод рационализации, который заключается в умножении числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя. В данном случае знаменатель (4 - \sqrt{15}), и его сопряжённое выражение будет (4 + \sqrt{15}).

   Умножим и числитель, и знаменатель на (4 + \sqrt{15}): [ \frac{\sqrt{15} + 4}{4 - \sqrt{15}} \cdot \frac{4 + \sqrt{15}}{4 + \sqrt{15}} = \frac{(\sqrt{15} + 4)(4 + \sqrt{15})}{(4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15})} ]

2. Упрощение знаменателя:

   В знаменателе у нас разность квадратов: [ (4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15}) = 4^2 - (\sqrt{15})^2 = 16 - 15 = 1 ]

   Таким образом, знаменатель упрощается до 1.

3. Раскрытие скобок в числителе:

   Теперь раскроем скобки в числителе: [ (\sqrt{15} + 4)(4 + \sqrt{15}) = \sqrt{15} \cdot 4 + \sqrt{15} \cdot \sqrt{15} + 4 \cdot 4 + 4 \cdot \sqrt{15} ] [ = 4\sqrt{15} + 15 + 16 + 4\sqrt{15} ] [ = 15 + 16 + 4\sqrt{15} + 4\sqrt{15} ] [ = 31 + 8\sqrt{15} ]

4. Объединение результатов:

   Так как знаменатель равен 1, то выражение упрощается до: [ \frac{31 + 8\sqrt{15}}{1} = 31 + 8\sqrt{15} ]

Таким образом, мы доказали, что: [ \frac{\sqrt{15} + 4}{4 - \sqrt{15}} = 31 + 8\sqrt{15} ]

Равенство, которое требовалось доказать, верно.

(√15 + 4) / (4 - √15) = (31 + 8√15) Доказательство: (√15 + 4) / (4 - √15) = ((√15 + 4) / (4 - √15)) * ((4 + √15) / (4 + √15)) = (4√15 + 15 + 16 + 4√15) / (16 - 15) = (8√15 + 31) / 1 = 8√15 + 31 = 31 + 8√15