Докажите подобие треугольников АВС и КМN, если АВ=8 см, ВС=12 см, АС=16 см, КМ=10 см, МN=15 см, NK=20...

Для доказательства подобия треугольников АВС и КМN необходимо убедиться, что соответствующие стороны пропорциональны. В данном случае, отношение сторон АВ/КМ, ВС/МN и АС/KN равны 8/10 = 0,8, 12/15 = 0,8 и 16/20 = 0,8 соответственно. Таким образом, треугольники АВС и КМN подобны.

Отношение периметров треугольников равно отношению любой стороны одного треугольника к соответствующей стороне другого треугольника, то есть 8+12+16 / 10+15+20 = 36/45 = 4/5.

Отношение площадей треугольников равно квадрату отношения длин сторон, то есть (812)/(1015) = 96/150 = 0,64.

Для доказательства подобия треугольников ( \triangle ABC ) и ( \triangle KMN ) и нахождения отношения их периметров и площадей, воспользуемся теоремой о подобии треугольников. Два треугольника подобны, если их соответствующие стороны пропорциональны.

Даны длины сторон треугольников:

• ( \triangle ABC ): ( AB = 8 ) см, ( BC = 12 ) см, ( AC = 16 ) см
• ( \triangle KMN ): ( KM = 10 ) см, ( MN = 15 ) см, ( NK = 20 ) см

Для того чтобы треугольники были подобны, необходимо, чтобы все три пары соответствующих сторон были пропорциональны. Проверим это.

Рассчитаем отношения соответствующих сторон:

1. ( \frac{AB}{KM} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} )
2. ( \frac{BC}{MN} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} )
3. ( \frac{AC}{NK} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} )

Все три отношения равны ( \frac{4}{5} ). Это означает, что треугольники ( \triangle ABC ) и ( \triangle KMN ) подобны по признаку пропорциональности сторон.

Теперь найдем отношение периметров треугольников. Периметр треугольника ( \triangle ABC ) равен: [ P_{ABC} = AB + BC + AC = 8 + 12 + 16 = 36 \text{ см} ]

Периметр треугольника ( \triangle KMN ) равен: [ P_{KMN} = KM + MN + NK = 10 + 15 + 20 = 45 \text{ см} ]

Отношение периметров треугольников: [ \frac{P{ABC}}{P{KMN}} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5} ]

Так как треугольники подобны с коэффициентом подобия ( \frac{4}{5} ), отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Обозначим площадь треугольника ( \triangle ABC ) как ( S{ABC} ), а площадь треугольника ( \triangle KMN ) как ( S{KMN} ).

Отношение площадей треугольников: [ \frac{S{ABC}}{S{KMN}} = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} ]

Таким образом, мы доказали подобие треугольников ( \triangle ABC ) и ( \triangle KMN ) и нашли отношение их периметров и площадей:

• Отношение периметров: ( \frac{4}{5} )
• Отношение площадей: ( \frac{16}{25} )