Докажите, что при любом натуральном n: 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)=(n(n+1)(2n+1))/(3)

Чтобы доказать данное утверждение, мы используем метод математической индукции.

Шаг 1: База индукции.

Рассмотрим n = 1:

Левая часть:
[ 1 \cdot 2 = 2 ]

Правая часть:
[ \frac{1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2 ]

Итак, база индукции верна.

Шаг 2: Индукционный переход.

Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k, то есть: [ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(2k+1)}{3} ]

Теперь докажем, что это верно для n = k + 1.

Рассмотрим левую часть для n = k + 1: [ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1) + (k+1)(k+2) ]

По предположению индукции: [ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(2k+1)}{3} ]

Тогда: [ \frac{k(k+1)(2k+1)}{3} + (k+1)(k+2) ]

Объединим в одну дробь: [ \frac{k(k+1)(2k+1) + 3(k+1)(k+2)}{3} ]

Вынесем общий множитель (k+1): [ \frac{(k+1)(k(2k+1) + 3(k+2))}{3} ]

Раскроем скобки: [ k(2k+1) + 3(k+2) = 2k^2 + k + 3k + 6 = 2k^2 + 4k + 6 ]

Подставляем обратно: [ \frac{(k+1)(2k^2 + 4k + 6)}{3} ]

Сгруппируем: [ \frac{(k+1)((k+1)(2k+3))}{3} ]

Развернем выражение: [ \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1)+1)}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{3} ]

Таким образом, мы показали, что утверждение верно для n = k + 1.

Поскольку база индукции верна и индукционный переход доказан, утверждение верно для всех натуральных n.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции: При n=1: 12 = 1(1+1)(21+1)/3 2 = 2, что верно.

2. Предположение индукции: Пусть утверждение верно для n=k, т.е. 12 + 23 + 3*4 + . + k(k+1) = k(k+1)(2k+1)/3

3. Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно и для n=k+1: 12 + 23 + 3*4 + . + k(k+1) + (k+1)(k+2) = (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/3

Преобразуем левую часть: 12 + 23 + 3*4 + . + k(k+1) + (k+1)(k+2) = k(k+1)(2k+1)/3 + (k+1)(k+2) = (k^2 + k)(2k + 1)/3 + (k^2 + 3k + 2) = (2k^3 + k^2 + 2k^2 + k + 3k + 2)/3 = (2k^3 + 3k^2 + 4k + 2)/3 = (2k^3 + 3k^2 + 4k + 2)/3

Преобразуем правую часть: (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/3 = (k+1)(k+2)(2k+3)/3 = (k^2 + 3k + 2)(2k+3)/3 = (2k^3 + 3k^2 + 4k + 3k^2 + 9k + 6)/3 = (2k^3 + 6k^2 + 13k + 6)/3 = (2k^3 + 3k^2 + 4k + 2)/3

Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном n формула 12 + 23 + 3*4 + . + n(n+1) = n(n+1)(2n+1)/3 верна.

Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться методом математической индукции.