Докажите, что периодом функции y=f(x) является число Т: f(x)=3cos2x, T=Пи

Период функции f(x) = 3cos(2x) равен pi.

Для доказательства того, что ( T = \pi ) является периодом функции ( y = f(x) = 3\cos(2x) ), мы должны показать, что для любого значения ( x ) справедливо следующее равенство:

[ f(x + T) = f(x). ]

Подставим ( T = \pi ) в данное равенство:

1. Вычислим ( f(x + \pi) ):

   [ f(x + \pi) = 3\cos(2(x + \pi)) = 3\cos(2x + 2\pi). ]

2. Используя свойство косинуса, что (\cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta)) для любого угла (\theta), получаем:

   [ \cos(2x + 2\pi) = \cos(2x). ]

3. Таким образом, функция ( f(x + \pi) ) принимает вид:

   [ f(x + \pi) = 3\cos(2x). ]

4. Сравнивая это с исходной функцией ( f(x) = 3\cos(2x) ), видим, что:

   [ f(x + \pi) = f(x). ]

Таким образом, мы доказали, что ( T = \pi ) действительно является периодом функции ( y = f(x) = 3\cos(2x) ).

Важно отметить, что ( \cos(2x) ) имеет период (\pi), так как ( \cos(\theta)) имеет период (2\pi), а аргумент (2x) удваивает частоту, соответственно, сокращает период вдвое. Таким образом, период исходной функции (3\cos(2x)) равен (\pi).

Период функции определяется как наименьшее положительное число T, для которого выполняется равенство f(x + T) = f(x) для всех x.

Для функции f(x) = 3cos(2x) период можно найти, заметив, что функция cos(2x) имеет период Пи (по определению функции косинус), а коэффициент 2 перед x уменьшает период вдвое.

Таким образом, период функции f(x) = 3cos(2x) равен Пи.

Таким образом, доказано, что периодом функции y = f(x) = 3cos(2x) является число T = Пи.