Докажите, что функция y=(|3x|-3x)(|x|+x) является и четной, и нечетной ну оооочень надо. распишите пожалуйста...

Чтобы доказать, что функция ( y = (|3x| - 3x)(|x| + x) ) одновременно является и четной, и нечетной, рассмотрим определения четности и нечетности функций и проведем математическое доказательство.

Определения:

1. Четная функция: Функция ( f(x) ) называется четной, если для всех ( x ) из области определения выполняется ( f(-x) = f(x) ).
2. Нечетная функция: Функция ( f(x) ) называется нечетной, если для всех ( x ) из области определения выполняется ( f(-x) = -f(x) ).

Если функция одновременно удовлетворяет обоим определениям, то это возможно только в случае, если ( f(x) = 0 ) для всех ( x ). Таким образом, чтобы доказать, что функция ( y = (|3x| - 3x)(|x| + x) ) одновременно четная и нечетная, нужно показать, что она равна нулю для всех ( x ).

Шаг 1. Упростим выражение для функции ( y )

Функция ( y = (|3x| - 3x)(|x| + x) ) состоит из двух множителей:

• Первый множитель: ( |3x| - 3x ),
• Второй множитель: ( |x| + x ).

Разберем каждый множитель отдельно:

1. Рассмотрим ( |3x| - 3x ):

   • Если ( x \geq 0 ), то ( |3x| = 3x ), поэтому ( |3x| - 3x = 3x - 3x = 0 ).
   • Если ( x < 0 ), то ( |3x| = -3x ), поэтому ( |3x| - 3x = -3x - 3x = -6x ).

   Таким образом: [ |3x| - 3x = \begin{cases} 0, & x \geq 0, \ -6x, & x < 0. ]

2. Рассмотрим ( |x| + x ):

   • Если ( x \geq 0 ), то ( |x| = x ), поэтому ( |x| + x = x + x = 2x ).
   • Если ( x < 0 ), то ( |x| = -x ), поэтому ( |x| + x = -x + x = 0 ).

   Таким образом: [ |x| + x = \begin{cases} 2x, & x \geq 0, \ 0, & x < 0. ]

Шаг 2. Вычислим произведение ( y = (|3x| - 3x)(|x| + x) )

Теперь подставим ( |3x| - 3x ) и ( |x| + x ) в исходное выражение для ( y ): [ y = (|3x| - 3x)(|x| + x). ]

1. Если ( x \geq 0 ):

   • ( |3x| - 3x = 0 ),
   • ( |x| + x = 2x ).

   Тогда: [ y = (|3x| - 3x)(|x| + x) = 0 \cdot 2x = 0. ]

2. Если ( x < 0 ):

   • ( |3x| - 3x = -6x ),
   • ( |x| + x = 0 ).

   Тогда: [ y = (|3x| - 3x)(|x| + x) = (-6x) \cdot 0 = 0. ]

Шаг 3. Сделаем вывод

Мы доказали, что для любых ( x ) из области определения функция ( y ) равна нулю: [ y = 0. ]

Функция, которая равна нулю на всей области определения, одновременно является и четной, и нечетной, поскольку:

• ( f(-x) = f(x) = 0 ), что соответствует определению четности,
• ( f(-x) = -f(x) = 0 ), что соответствует определению нечетности.

Ответ:

Функция ( y = (|3x| - 3x)(|x| + x) ) является и четной, и нечетной, так как она тождественно равна нулю для всех ( x ).

Чтобы доказать, что функция ( y = (|3x| - 3x)(|x| + x) ) является и четной, и нечетной, начнем с определения четной и нечетной функции.

1. Четная функция: Функция ( f(x) ) называется четной, если для любого ( x ) выполняется равенство ( f(-x) = f(x) ).

2. Нечетная функция: Функция ( f(x) ) называется нечетной, если для любого ( x ) выполняется равенство ( f(-x) = -f(x) ).

Теперь давайте рассмотрим функцию ( y = (|3x| - 3x)(|x| + x) ) и найдем ( y(-x) ).

Шаг 1: Найдем ( y(-x) )

1. Вычислим ( |3(-x)| ) и ( |(-x)| ): [ |3(-x)| = |3x|, \quad |(-x)| = |x| ]

2. Подставим ( -x ) в функцию: [ y(-x) = (|3(-x)| - 3(-x))( |(-x)| + (-x) ) ] Это можно переписать как: [ y(-x) = (|3x| + 3x)(|x| - x) ]

Шаг 2: Упростим ( y(-x) )

Теперь упростим ( y(-x) ): [ y(-x) = (|3x| + 3x)(|x| - x) ]

Шаг 3: Теперь найдем ( y(x) )

Теперь мы можем сравнить ( y(-x) ) с ( y(x) ): [ y(x) = (|3x| - 3x)(|x| + x) ]

Шаг 4: Проверка четности и нечетности

Теперь проверим, является ли функция четной:

Четность

Сравним ( y(-x) ) с ( y(x) ): [ y(-x) = (|3x| + 3x)(|x| - x) ] и [ y(x) = (|3x| - 3x)(|x| + x) ]

Как видно, эти два выражения не равны, следовательно, функция не является четной.

Нечетность

Теперь сравним ( y(-x) ) с ( -y(x) ): [ -y(x) = -(|3x| - 3x)(|x| + x) = (-|3x| + 3x)(|x| + x) ]

Необходимо проверить, равны ли ( y(-x) ) и ( -y(x) ): [ y(-x) = (|3x| + 3x)(|x| - x) ] [ -y(x) = (-|3x| + 3x)(|x| + x) ]

Очевидно, что эти выражения тоже не равны. Таким образом, функция не является нечетной.

Заключение

Таким образом, функция ( y = (|3x| - 3x)(|x| + x) ) не является ни четной, ни нечетной. Она не удовлетворяет условиям четности и нечетности.

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дальнейшее объяснение, пожалуйста, дайте знать!

Чтобы проверить, является ли функция ( y = (|3x| - 3x)(|x| + x) ) четной, нечетной или ни одной из них, нужно определить, выполняются ли свойства четной и нечетной функции.

1. Определение четной функции: Функция ( f(x) ) четная, если ( f(-x) = f(x) ) для всех ( x ).

2. Определение нечетной функции: Функция ( f(x) ) нечетная, если ( f(-x) = -f(x) ) для всех ( x ).

Теперь вычислим ( y(-x) ):

[ y(-x) = (|3(-x)| - 3(-x))( |(-x)| + (-x) ) ]

Упростим каждую часть:

• ( |3(-x)| = |3x| )
• ( 3(-x) = -3x )
• ( |(-x)| = |x| )
• ( -x ) остается без изменений.

Теперь подставим это в выражение:

[ y(-x) = (|3x| + 3x)(|x| - x) ]

Теперь упростим оба выражения:

1. ( |3x| - 3x ):

   • Если ( x \geq 0 ): ( |3x| - 3x = 3x - 3x = 0 )
   • Если ( x < 0 ): ( |3x| - 3x = -3x + 3x = 0 )

2. ( |x| + x ):

   • Если ( x \geq 0 ): ( |x| + x = x + x = 2x )
   • Если ( x < 0 ): ( |x| + x = -x + x = 0 )

Таким образом, при любом ( x ), ( |3x| - 3x = 0 ) и ( |x| + x ) либо ( 2x ), либо ( 0 ), что в итоге даёт:

[ y = 0 \cdot (|x| + x) = 0 ]

Теперь подставим ( y(-x) ) и ( y(x) ):

• ( y(x) = (|3x| - 3x)(|x| + x) ) — как и ранее, при любом ( x ) это будет ( 0 ).
• ( y(-x) = (|3(-x)| - 3(-x))(|(-x)| + (-x)) = 0 )

Таким образом:

[ y(-x) = 0 = y(x) ]

Это означает, что функция четная.

Теперь проверим, является ли функция нечетной. По определению, для нечетной функции должно выполняться:

[ y(-x) = -y(x) ]

Но мы уже установили, что ( y(-x) = 0 ) и ( y(x) = 0 ). Следовательно:

[ y(-x) = -y(x) \Rightarrow 0 = -0 ]

Это условие также выполняется, но это не доказывает, что функция нечетная, так как обе стороны равенства равны нулю.

В итоге, функция ( y = (|3x| - 3x)(|x| + x) ) является четной, но не является нечетной в строгом смысле, так как для нечетной функции требуется, чтобы ( y(x) ) не было равно нулю для всех ( x ).

Таким образом, функция ( y(x) ) является четной, но нечетной в тривиальном смысле (все значения равны нулю).