Докажите, что функция f(x) четная, если f(x)=7 sin^2*4x+|x|

Чтобы доказать, что функция f(x) является четной, необходимо показать, что f(x) = f(-x) для любого x. Подставим -x вместо x в выражение для f(x): f(-x) = 7sin^2(4*(-x)) + |-x| = 7sin^2(-4x) + |-x| Так как sin(-θ) = -sin(θ), получаем: f(-x) = 7sin^2(-4x) + |-x| = 7(-sin(4x))^2 + |-x| = 7sin^2(4x) + |-x| = f(x) Таким образом, f(-x) = f(x) для любого x, что означает, что функция f(x) является четной.

Для того чтобы доказать, что функция ( f(x) = 7 \sin^2(4x) + |x| ) является четной, нам нужно показать, что она удовлетворяет условию четности, а именно:

[ f(-x) = f(x) ]

Рассмотрим ( f(-x) ). Подставим (-x) вместо (x) в выражение для ( f(x) ):

[ f(-x) = 7 \sin^2(4(-x)) + |-x| ]

Разберем это выражение по частям.

1. Рассмотрим первую часть: ( 7 \sin^2(4(-x)) ).

Известно, что синус является нечетной функцией, то есть:

[ \sin(-y) = -\sin(y) ]

Применим это свойство к нашему выражению:

[ \sin(4(-x)) = \sin(-4x) = -\sin(4x) ]

Теперь используем это в квадрате:

[ \sin^2(-4x) = (-\sin(4x))^2 = (\sin(4x))^2 = \sin^2(4x) ]

Следовательно:

[ 7 \sin^2(4(-x)) = 7 \sin^2(4x) ]

1. Теперь рассмотрим вторую часть: ( |-x| ).

Модуль числа не зависит от знака аргумента, то есть:

[ |-x| = |x| ]

Теперь объединим обе части:

[ f(-x) = 7 \sin^2(4(-x)) + |-x| = 7 \sin^2(4x) + |x| ]

Таким образом, мы получили:

[ f(-x) = 7 \sin^2(4x) + |x| = f(x) ]

Следовательно, функция ( f(x) = 7 \sin^2(4x) + |x| ) действительно является четной, так как ( f(-x) = f(x) ) для всех (x).