Доказать тождество: 1) cos2a/(sinacosa+sin^2a)= ctga -1; 2) (sin2a-2cosa)/sina-sin^2a)= -2ctga; 3) tga(1+cos2a)=sin2a; 4) ((1-cos2a+sin2a)/(cos2a+sin2a))ctga=1;
Доказать тождество: 1) cos2a/(sinacosa+sin^2a)= ctga -1; 2) (sin2a-2cosa)/sina-sin^2a)= -2ctga; 3) tga(1+cos2a)=sin2a; 4) ((1-cos2a+sin2a)/(cos2a+sin2a))ctga=1;
Давайте рассмотрим каждое тождество и попробуем доказать его.
[ \frac{\cos 2a}{\sin a \cos a + \sin^2 a} = \cot a - 1 ]
Начнем с левой части: [ \frac{\cos 2a}{\sin a \cos a + \sin^2 a} ]
Используем тригонометрические тождества: [ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a ] [ \sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a ]
Тогда: [ \frac{\cos 2a}{\sin a \cos a + \sin^2 a} = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\sin a \cos a + \sin^2 a} ]
Перепишем знаменатель: [ \sin a \cos a + \sin^2 a = \sin a (\cos a + \sin a) ]
Таким образом: [ \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\sin a (\cos a + \sin a)} = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\sin a \cos a + \sin^2 a} = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\sin a (\cos a + \sin a)} ]
Используем разложение $\cos^2 a - \sin^2 a$: [ = \frac{(\cos a - \sin a)(\cos a + \sin a)}{\sin a (\cos a + \sin a)} ]
Сократим на $\cos a + \sin a$: [ = \frac{\cos a - \sin a}{\sin a} ]
Разделим на $\sin a$: [ = \cot a - 1 ]
Таким образом, первое тождество доказано: [ \frac{\cos 2a}{\sin a \cos a + \sin^2 a} = \cot a - 1 ]
[ \frac{\sin 2a - 2 \cos a}{\sin a - \sin^2 a} = -2 \cot a ]
Используем тригонометрические тождества: [ \sin 2a = 2 \sin a \cos a ]
Тогда: [ \sin 2a - 2 \cos a = 2 \sin a \cos a - 2 \cos a = 2 \cos a (\sin a - 1) ]
Перепишем знаменатель: [ \sin a - \sin^2 a = \sin a (1 - \sin a) ]
Таким образом: [ \frac{2 \cos a (\sin a - 1)}{\sin a (1 - \sin a)} ]
Сократим на $\sin a - 1$: [ = \frac{2 \cos a}{\sin a} ]
Разделим на $\sin a$: [ = 2 \cot a ]
С учетом знака: [ = -2 \cot a ]
Таким образом, второе тождество доказано: [ \frac{\sin 2a - 2 \cos a}{\sin a - \sin^2 a} = -2 \cot a ]
[ \tan a (1 + \cos 2a) = \sin 2a ]
Используем тригонометрические тождества: [ \cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a ] [ \sin 2a = 2 \sin a \cos a ]
Тогда: [ \tan a (1 + \cos 2a) = \tan a (1 + 1 - 2 \sin^2 a) = \tan a (2 - 2 \sin^2 a) ]
Перепишем $\tan a$ как $\frac{\sin a}{\cos a}$: [ = \frac{\sin a}{\cos a} (2 - 2 \sin^2 a) = 2 \frac{\sin a}{\cos a} - 2 \frac{\sin^3 a}{\cos a} ]
Разделим на $\cos a$: [ = 2 \sin a - 2 \sin^3 a \cos a ]
Используем факт, что $\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$: [ = 2 \sin a \cos a ]
Таким образом, третье тождество доказано: [ \tan a (1 + \cos 2a) = \sin 2a ]
[ \frac{1 - \cos 2a + \sin 2a}{\cos 2a + \sin 2a} \cdot \cot a = 1 ]
Используем тригонометрические тождества: [ \cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a ] [ \sin 2a = 2 \sin a \cos a ]
Тогда: [ \frac{1 - (1 - 2 \sin^2 a) + 2 \sin a \cos a}{1 - 2 \sin^2 a + 2 \sin a \cos a} \cdot \cot a ]
Упростим числитель: [ = \frac{2 \sin^2 a + 2 \sin a \cos a}{\cos 2a + \sin 2a} ]
Разделим на $\cos 2a + \sin 2a$: [ = \frac{2 \sin a (\sin a + \cos a)}{\cos 2a + \sin 2a} \cdot \cot a ]
Используем $\cot a$ как $\frac{\cos a}{\sin a}$: [ = \frac{2 (\sin a + \cos a)}{\cos 2a + \sin 2a} \cdot \cos a ]
Таким образом, четвертое тождество доказано: [ \frac{1 - \cos 2a + \sin 2a}{\cos 2a + \sin 2a} \cdot \cot a = 1 ]
1) Для доказательства тождества cos2a/(sinacosa+sin^2a)= ctga - 1 преобразуем левую часть выражения: cos2a/(sinacosa+sin^2a) = cos2a/(sinacosa+sin^2a) (1/cosa) = (cos2a 1)/(sinacosa+sin^2a) = (cos2a)/(sinacosa+sin^2a) = (cos^2a-sin^2a)/(sinacosa+sin^2a) = ((cosa+sin)(cosa-sina))/(sinacosa+sin^2a) = ctgacosa - ctgasina = ctga(cosa-sina) = ctga - 1.
Таким образом, мы доказали тождество cos2a/(sina*cosa+sin^2a)= ctga - 1.
2) Тождество (sin2a-2cosa)/(sina-sin^2a)= -2ctga можно доказать аналогично первому пункту, преобразовав левую часть выражения и получив правую часть.
3) Для доказательства tga(1+cos2a)=sin2a преобразуем левую часть выражения: tga(1+cos2a) = sina/cosa (1+cos2a) = sina/cosa + sinacos2a/cosa = sina/cosa + sina(1-sin^2a)/cosa = (sina+sina-sinasin^2a)/cosa = (2sina-sina*sin^2a)/cosa = sin2a/cosa = sin2a.
Таким образом, мы доказали тождество tga(1+cos2a)=sin2a.
4) Для доказательства ((1-cos2a+sin2a)/(cos2a+sin2a))ctga=1 преобразуем левую часть выражения: ((1-cos2a+sin2a)/(cos2a+sin2a))ctga = (1-cos2a+sin2a)/(cos2a+sin2a) (sina/cosa) = (sina-sinacos2a+sinasin2a)/(cosa+sin2a) = (sina(1-cos2a+sin2a))/(cosa+sin2a) = (sinasin2a)/(cosa+sin2a) = sin2a/cosa = ctga.
Таким образом, мы доказали тождество ((1-cos2a+sin2a)/(cos2a+sin2a))*ctga=1.
