Для правильной монеты мы полагаем, что вероятность выпадения орла 0,5.Разумно ли ожидать что, при 100...

Когда мы говорим о бросках правильной монеты, мы предполагаем, что вероятность выпадения орла равна 0,5 (или 50%). В таких случаях мы можем использовать биномиальное распределение для анализа вероятности различных исходов.

Биномиальное распределение описывает вероятность того, что в ( n ) независимых испытаниях (в данном случае, бросаниях монеты) произойдёт ( k ) успешных исходов (в данном случае, выпадение орла), где вероятность успеха в каждом испытании равна ( p ).

Формула для биномиального распределения: [ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, ] где:

• ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который равен ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
• ( n ) — общее количество испытаний (в нашем случае, 100 бросков),
• ( k ) — количество успешных исходов (выпадения орла),
• ( p ) — вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае, 0,5).

Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев:

а) Выпадение орла 5 раз

Подставим значения в формулу: [ P(X = 5) = \binom{100}{5} (0.5)^5 (0.5)^{95} = \binom{100}{5} (0.5)^{100}. ]

Вычислим биномиальный коэффициент: [ \binom{100}{5} = \frac{100!}{5!(100-5)!} = \frac{100!}{5! \cdot 95!}. ]

Эта вероятность будет крайне мала, так как выпадение орла всего лишь 5 раз из 100 бросков сильно отличается от ожидаемого среднего значения (50 раз).

б) Выпадение орла 49 раз

Подставим значения в формулу: [ P(X = 49) = \binom{100}{49} (0.5)^{49} (0.5)^{51} = \binom{100}{49} (0.5)^{100}. ]

Вычислим биномиальный коэффициент: [ \binom{100}{49} = \frac{100!}{49! \cdot 51!}. ]

Эта вероятность будет сравнительно высока, так как 49 выпадений орла весьма близко к среднему значению (50 раз), и это является разумным ожиданием.

в) Выпадение орла 90 раз

Подставим значения в формулу: [ P(X = 90) = \binom{100}{90} (0.5)^{90} (0.5)^{10} = \binom{100}{90} (0.5)^{100}. ]

Вычислим биномиальный коэффициент: [ \binom{100}{90} = \frac{100!}{90! \cdot 10!}. ]

Эта вероятность будет также крайне мала, так как выпадение орла 90 раз из 100 бросков сильно отличается от ожидаемого среднего значения (50 раз).

Вывод

• Выпадение орла 5 раз из 100 бросков — крайне маловероятное событие.
• Выпадение орла 49 раз из 100 бросков — вполне разумное и ожидаемое событие.
• Выпадение орла 90 раз из 100 бросков — крайне маловероятное событие.

Таким образом, из трёх предложенных вариантов только выпадение орла 49 раз является разумным ожиданием.

а) Для 100 бросаний монеты ожидается, что орел выпадет примерно 50 раз (по формуле вероятности выпадения орла в одном броске 0,5). Поэтому ожидать, что орел выпадет 5 раз из 100 бросаний, не совсем разумно, так как это значительно меньше ожидаемого значения.

б) Опять же, ожидаемое количество выпадений орла из 100 бросаний - 50 раз. Поэтому ожидать, что орел выпадет 49 раз из 100 бросаний, также не совсем разумно, так как это очень близко к ожидаемому значению.

в) Ожидать, что орел выпадет 90 раз из 100 бросаний, также не совсем разумно. Вероятность того, что орел выпадет в каждом броске - 0,5, поэтому ожидаемое количество выпадений орла из 100 бросаний - 50. 90 раз - это слишком большое отклонение от ожидаемого значения.

Таким образом, разумно ожидать, что орел выпадет примерно 50 раз из 100 бросаний.