Даны вершины треугольника A(-6;3;7) B(-4;3;;5) C(-1;8;7). найдите величину угла BAC этого треугольника

Для нахождения угла ( \angle BAC ) в треугольнике с вершинами ( A(-6, 3, 7) ), ( B(-4, 3, 5) ) и ( C(-1, 8, 7) ), нужно выполнить следующие шаги.

1. Найти векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ):

   [ \overrightarrow{AB} = B - A = (-4 - (-6), 3 - 3, 5 - 7) = (2, 0, -2) ]

   [ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - (-6), 8 - 3, 7 - 7) = (5, 5, 0) ]

2. Найти скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ):

   [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2, 0, -2) \cdot (5, 5, 0) = 2 \cdot 5 + 0 \cdot 5 + (-2) \cdot 0 = 10 ]

3. Найти длины векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ):

   [ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

   [ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 25 + 0} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

4. Использовать определение косинуса угла между векторами:

   [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} ]

   Подставляем найденные значения:

   [ \cos \theta = \frac{10}{(2\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{10}{10 \cdot 2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} ]

5. Найти угол ( \theta ) с использованием арккосинуса:

   [ \theta = \arccos \left( \frac{1}{2} \right) ]

   Мы знаем, что (\arccos(1/2)) равен (60^\circ) или (\pi/3) радиан.

Таким образом, величина угла ( \angle BAC ) равна ( 60^\circ ) или (\pi/3) радиан.

Для нахождения величины угла BAC треугольника ABC необходимо использовать формулу косинусов. Сначала найдем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

AB = √((-4 - (-6))^2 + (3 - 3)^2 + (5 - 7)^2) = √(2^2 + 0^2 + (-2)^2) = √(4 + 4) = √8

AC = √((-1 - (-6))^2 + (8 - 3)^2 + (7 - 7)^2) = √(5^2 + 5^2) = √50

BC = √((-1 - (-4))^2 + (8 - 3)^2 + (7 - 5)^2) = √(3^2 + 5^2 + 2^2) = √38

Теперь используем формулу косинусов для нахождения угла BAC:

cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 AB AC) cos(BAC) = (8 + 50 - 38) / (2 √8 √50) cos(BAC) = 20 / (2 * √400) cos(BAC) = 20 / 40 cos(BAC) = 0.5

Из таблицы значений косинуса угла следует, что cos(60°) = 0.5. Следовательно, угол BAC треугольника ABC равен 60°.