Дано: sinα=4/5, 90°<α<180°. Найдите: а) sin2α; б)sin*α/2.

Для решения задач по тригонометрии, когда дано значение одного тригонометрического выражения, важно помнить о тригонометрических тождествах и свойствах функций.

Дано:

[ \sin \alpha = \frac{4}{5} ] [ 90^\circ < \alpha < 180^\circ ]

а) Найдите (\sin 2\alpha):

Для нахождения (\sin 2\alpha) используем формулу двойного угла:

[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha ]

Чтобы найти (\cos \alpha), используем основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ]

Подставляем данное значение (\sin \alpha = \frac{4}{5}):

[ \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 ]

[ \frac{16}{25} + \cos^2 \alpha = 1 ]

[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} ]

[ \cos \alpha = \pm \frac{3}{5} ]

Поскольку угол (\alpha) находится во второй четверти ((90^\circ < \alpha < 180^\circ)), косинус в этой четверти отрицателен:

[ \cos \alpha = -\frac{3}{5} ]

Теперь подставляем значения в формулу двойного угла:

[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) ]

[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{4 \cdot (-3)}{25} = -\frac{24}{25} ]

б) Найдите (\sin \frac{\alpha}{2}):

Для нахождения (\sin \frac{\alpha}{2}) используем формулу половинного угла:

[ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} ]

Подставляем (\cos \alpha = -\frac{3}{5}):

[ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)}{2}} ]

[ = \pm \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} ]

[ = \pm \sqrt{\frac{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}{2}} ]

[ = \pm \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} ]

[ = \pm \sqrt{\frac{8}{10}} ]

[ = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} ]

[ = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} ]

[ = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} ]

Чтобы определить знак, учитываем, что (\alpha) находится во второй четверти, следовательно, (\frac{\alpha}{2}) будет находиться в первой четверти ((45^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ)), где синус положителен:

[ \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5} ]

Таким образом, ответы: а) (\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}) б) (\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5})

а) Для нахождения sin2α воспользуемся формулой двойного угла: sin2α = 2sinαcosα Так как sinα = 4/5, то cosα = √(1 - sin^2α) = √(1 - (4/5)^2) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5 Теперь подставляем значения sinα и cosα в формулу: sin2α = 2 (4/5) (3/5) = 24/25

б) Для нахождения sin(α/2) воспользуемся формулой половинного угла: sin(α/2) = ±√((1 - cosα) / 2) Так как cosα = 3/5, то подставляем значение в формулу: sin(α/2) = ±√((1 - 3/5) / 2) = ±√(2/5) = ±√2 / √5 = ±√2 / 5 Учитывая, что угол α находится во II четверти, то sin(α/2) будет отрицательным: sin(α/2) = -√2 / 5