Дана геометрическая прогрессия b3=8 b5=2 . Найдите СУММУ шести первых членов этой прогрессии

Для решения задачи воспользуемся свойствами геометрической прогрессии. Пусть ( b_n ) обозначает ( n )-й член прогрессии. В геометрической прогрессии каждый член можно выразить через первый член ( b_1 ) и знаменатель прогрессии ( q ) следующим образом:

[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]

Из условия задачи имеем:

[ b_3 = b_1 \cdot q^2 = 8 ] [ b_5 = b_1 \cdot q^4 = 2 ]

Теперь найдём ( q ). Разделим второе уравнение на первое:

[ \frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = q^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} ]

Отсюда находим ( q ):

[ q = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} ]

Теперь, зная ( q ), найдём ( b_1 ). Подставим значение ( q ) в одно из уравнений, например, в ( b_3 = b_1 \cdot q^2 = 8 ):

[ b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8 ] [ b_1 \cdot \frac{1}{4} = 8 ] [ b_1 = 8 \cdot 4 = 32 ]

Теперь найдём сумму первых шести членов геометрической прогрессии. Формула суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии имеет вид:

[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} ]

Для первых шести членов (( n = 6 )):

[ S_6 = 32 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^6 - 1}{\frac{1}{2} - 1} ]

Вычислим:

[ \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} ]

Поэтому:

[ S_6 = 32 \cdot \frac{\frac{1}{64} - 1}{\frac{1}{2} - 1} = 32 \cdot \frac{\frac{1}{64} - \frac{64}{64}}{-\frac{1}{2}} = 32 \cdot \frac{-\frac{63}{64}}{-\frac{1}{2}} ]

Упростим выражение:

[ S_6 = 32 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = 32 \cdot \frac{126}{64} = 32 \cdot \frac{63}{32} = 63 ]

Таким образом, сумма шести первых членов прогрессии равна 63.

Для нахождения суммы шести первых членов геометрической прогрессии, мы можем воспользоваться формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где S_n - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии, n - количество членов прогрессии.

Из условия задачи у нас даны два члена прогрессии: b3 = 8 и b5 = 2.

Сначала найдем знаменатель прогрессии r:

r = b5 / b3 = 2 / 8 = 1 / 4.

Теперь найдем первый член прогрессии a:

a = b3 / r^2 = 8 / (1/4)^2 = 8 * 16 = 128.

Теперь можем найти сумму шести первых членов прогрессии:

S_6 = 128 (1 - (1/4)^6) / (1 - 1/4) = 128 (1 - 1/4096) / (3/4) = 128 * (4095/4096) / (3/4) = 4095 / 32 ≈ 127,97.

Таким образом, сумма шести первых членов данной геометрической прогрессии равна приблизительно 127,97.