a) Для нахождения точек максимума и минимума функции F необходимо найти её производную. F' = 3x^2 - 6x. Далее решаем уравнение F' = 0: 3x^2 - 6x = 0, x = 0, x = 0 или x = 2.
Подставляем найденные значения x в исходную функцию F: F = 0^3 - 30^2 + 4 = 4, F = 2^3 - 32^2 + 4 = 4. Таким образом, точки минимума и максимума функции F равны и соответственно.
б) Промежутки возрастания и убывания функции F определяются знаками производной. F' > 0 на промежутке и F' < 0 на промежутке и . Следовательно, функция возрастает на интервалах и убывает на интервалах и .
в) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции F на промежутке необходимо найти значения функции в крайних точках и в точках экстремума. F = 4, F = 4^3 - 3*4^2 + 4 = 16. Таким образом, наибольшее значение функции F на промежутке равно 16, наименьшее значение - 4.