Дана функция: F(x)= x^3-3x^2+4найдите: а) её точки максимума и минимума б)промежутки возрастания и убывания...

Для решения задачи, связанной с функцией ( F(x) = x^3 - 3x^2 + 4 ), начнем с нахождения производной функции, чтобы определить критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также наибольшее и наименьшее значения на заданном промежутке.

а) Точки максимума и минимума

1. Найдём первую производную ( F'(x) ): [ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x ]

2. Найдём критические точки, решая уравнение ( F'(x) = 0 ): [ 3x^2 - 6x = 0 ] [ 3x(x - 2) = 0 ] Отсюда получаем критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

3. Определим второй производной, чтобы проверить характер критических точек: [ F''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 ]

4. Проверим второй производной в критических точках: [ F''(0) = 6 \cdot 0 - 6 = -6 \quad (\text{отрицательная, значит точка } x=0 \text{ - точка максимума}) ] [ F''(2) = 6 \cdot 2 - 6 = 6 \quad (\text{положительная, значит точка } x=2 \text{ - точка минимума}) ]

б) Промежутки возрастания и убывания

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, рассмотрим знаки первой производной ( F'(x) = 3x^2 - 6x ):

1. Рассмотрим интервалы, разделенные критическими точками: ( x < 0 ), ( 0 < x < 2 ) и ( x > 2 ).

2. Проверим знаки первой производной на этих интервалах:

   • На интервале ( x < 0 ): пусть ( x = -1 ), [ F'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 \quad (\text{положительная, функция возрастает}) ]
   • На интервале ( 0 < x < 2 ): пусть ( x = 1 ), [ F'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 \quad (\text{отрицательная, функция убывает}) ]
   • На интервале ( x > 2 ): пусть ( x = 3 ), [ F'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 \quad (\text{положительная, функция возрастает}) ]

Таким образом, получаем:

• Функция возрастает на промежутке ( (-\infty, 0) \cup (2, \infty) ).
• Функция убывает на промежутке ( (0, 2) ).

в) Наибольшее и наименьшее значения на промежутке ([0; 4])

1. Найдём значения функции в критических точках и на концах промежутка:

   • ( F(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 )
   • ( F(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 )
   • ( F(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20 )

2. Сравним значения:

   • ( F(0) = 4 )
   • ( F(2) = 0 )
   • ( F(4) = 20 )

На промежутке ([0; 4]):

• Наибольшее значение функции ( F(x) = 20 ) при ( x = 4 ).
• Наименьшее значение функции ( F(x) = 0 ) при ( x = 2 ).

Таким образом, точки максимума и минимума функции:

• Точка максимума: ( x = 0 )
• Точка минимума: ( x = 2 )

Промежутки возрастания и убывания:

• Возрастает на ( (-\infty, 0) \cup (2, \infty) )
• Убывает на ( (0, 2) )

Наибольшее и наименьшее значения на промежутке ([0; 4]):

• Наибольшее значение: ( 20 ) при ( x = 4 )
• Наименьшее значение: ( 0 ) при ( x = 2 )

a) Для нахождения точек максимума и минимума функции F(x) необходимо найти её производную. F'(x) = 3x^2 - 6x. Далее решаем уравнение F'(x) = 0: 3x^2 - 6x = 0, x(3x - 6) = 0, x = 0 или x = 2.

Подставляем найденные значения x в исходную функцию F(x): F(0) = 0^3 - 30^2 + 4 = 4, F(2) = 2^3 - 32^2 + 4 = 4. Таким образом, точки минимума и максимума функции F(x) равны (0, 4) и (2, 4) соответственно.

б) Промежутки возрастания и убывания функции F(x) определяются знаками производной. F'(x) > 0 на промежутке (0, 2) и F'(x) < 0 на промежутке (-∞, 0) и (2, +∞). Следовательно, функция возрастает на интервалах (0, 2) и убывает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞).

в) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции F(x) на промежутке [0;4] необходимо найти значения функции в крайних точках и в точках экстремума. F(0) = 4, F(4) = 4^3 - 3*4^2 + 4 = 16. Таким образом, наибольшее значение функции F(x) на промежутке [0;4] равно 16, наименьшее значение - 4.