Дана функция: F$x$= x^3-3x^2+4найдите: а) её точки максимума и минимума б)промежутки возрастания и убывания...

Для решения задачи, связанной с функцией $F(x$ = x^3 - 3x^2 + 4 ), начнем с нахождения производной функции, чтобы определить критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также наибольшее и наименьшее значения на заданном промежутке.

а) Точки максимума и минимума

1. Найдём первую производную $F^{\prime }(x$ ): $F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+4)=3x^2-6x$

2. Найдём критические точки, решая уравнение $F^{\prime }(x$ = 0 ): $3x^2-6x=0$ $3x(x-2)=0$ Отсюда получаем критические точки: $x=0$ и $x=2$.

3. Определим второй производной, чтобы проверить характер критических точек: $F^{″}(x)=\frac{d}{dx}(3x^2-6x)=6x-6$

4. Проверим второй производной в критических точках: $F^{″}(0)=6\cdot 0-6=-6(\text{отрицательная, значит точка }x=0\text{ - точка максимума})$ $F^{″}(2)=6\cdot 2-6=6(\text{положительная, значит точка }x=2\text{ - точка минимума})$

б) Промежутки возрастания и убывания

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, рассмотрим знаки первой производной $F^{\prime }(x$ = 3x^2 - 6x ):

1. Рассмотрим интервалы, разделенные критическими точками: $x<0$, $0<x<2$ и $x>2$.

2. Проверим знаки первой производной на этих интервалах:

   • На интервале $x<0$: пусть $x=-1$, $F^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2-6(-1)=3+6=9(\text{положительная, функция возрастает})$
   • На интервале $0<x<2$: пусть $x=1$, $F^{\prime }(1)=3(1{)}^2-6(1)=3-6=-3(\text{отрицательная, функция убывает})$
   • На интервале $x>2$: пусть $x=3$, $F^{\prime }(3)=3(3{)}^2-6(3)=27-18=9(\text{положительная, функция возрастает})$

Таким образом, получаем:

• Функция возрастает на промежутке $(-\mathrm{\infty },0$ \cup $2,\mathrm{\infty }$ ).
• Функция убывает на промежутке $(0,2$ ).

в) Наибольшее и наименьшее значения на промежутке $[0;4]$

1. Найдём значения функции в критических точках и на концах промежутка:

   • $F(0$ = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 )
   • $F(2$ = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 )
   • $F(4$ = 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20 )

2. Сравним значения:

   • $F(0$ = 4 )
   • $F(2$ = 0 )
   • $F(4$ = 20 )

На промежутке $[0;4]$:

• Наибольшее значение функции $F(x$ = 20 ) при $x=4$.
• Наименьшее значение функции $F(x$ = 0 ) при $x=2$.

Таким образом, точки максимума и минимума функции:

• Точка максимума: $x=0$
• Точка минимума: $x=2$

Промежутки возрастания и убывания:

• Возрастает на $(-\mathrm{\infty },0$ \cup $2,\mathrm{\infty }$ )
• Убывает на $(0,2$ )

Наибольшее и наименьшее значения на промежутке $[0;4]$:

• Наибольшее значение: $20$ при $x=4$
• Наименьшее значение: $0$ при $x=2$

a) Для нахождения точек максимума и минимума функции F$x$ необходимо найти её производную. F'$x$ = 3x^2 - 6x. Далее решаем уравнение F'$x$ = 0: 3x^2 - 6x = 0, x$3x-6$ = 0, x = 0 или x = 2.

Подставляем найденные значения x в исходную функцию F$x$: F$0$ = 0^3 - 30^2 + 4 = 4, F$2$ = 2^3 - 32^2 + 4 = 4. Таким образом, точки минимума и максимума функции F$x$ равны $0,4$ и $2,4$ соответственно.

б) Промежутки возрастания и убывания функции F$x$ определяются знаками производной. F'$x$ > 0 на промежутке $0,2$ и F'$x$ < 0 на промежутке $-\infty ,0$ и $2,+\infty$. Следовательно, функция возрастает на интервалах $0,2$ и убывает на интервалах $-\infty ,0$ и $2,+\infty$.

в) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции F$x$ на промежутке $0;4$ необходимо найти значения функции в крайних точках и в точках экстремума. F$0$ = 4, F$4$ = 4^3 - 3*4^2 + 4 = 16. Таким образом, наибольшее значение функции F$x$ на промежутке $0;4$ равно 16, наименьшее значение - 4.