Дана функция: Fx= x^3-3x^2+4найдите: а) её точки максимума и минимума б)промежутки возрастания и убывания...

Тематика Алгебра
Уровень 5 - 9 классы
математика анализ функций точки экстремума точки максимума точки минимума промежутки возрастания промежутки убывания наибольшее значение наименьшее значение производная интервал 0;4
0

Дана функция: Fx= x^3-3x^2+4найдите: а) её точки максимума и минимума б)промежутки возрастания и убывания в) наибольшее и наименьшее её значения на промежутке 0;4

avatar
задан 6 месяцев назад

2 Ответа

0

Для решения задачи, связанной с функцией F(x = x^3 - 3x^2 + 4 ), начнем с нахождения производной функции, чтобы определить критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также наибольшее и наименьшее значения на заданном промежутке.

а) Точки максимума и минимума

  1. Найдём первую производную F(x ): F(x)=ddx(x33x2+4)=3x26x

  2. Найдём критические точки, решая уравнение F(x = 0 ): 3x26x=0 3x(x2)=0 Отсюда получаем критические точки: x=0 и x=2.

  3. Определим второй производной, чтобы проверить характер критических точек: F(x)=ddx(3x26x)=6x6

  4. Проверим второй производной в критических точках: F(0)=606=6(отрицательная, значит точка x=0 - точка максимума) F(2)=626=6(положительная, значит точка x=2 - точка минимума)

б) Промежутки возрастания и убывания

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, рассмотрим знаки первой производной F(x = 3x^2 - 6x ):

  1. Рассмотрим интервалы, разделенные критическими точками: x<0, 0<x<2 и x>2.

  2. Проверим знаки первой производной на этих интервалах:

    • На интервале x<0: пусть x=1, F(1)=3(1)26(1)=3+6=9(положительная, функция возрастает)
    • На интервале 0<x<2: пусть x=1, F(1)=3(1)26(1)=36=3(отрицательная, функция убывает)
    • На интервале x>2: пусть x=3, F(3)=3(3)26(3)=2718=9(положительная, функция возрастает)

Таким образом, получаем:

  • Функция возрастает на промежутке (,0 \cup 2, ).
  • Функция убывает на промежутке (0,2 ).

в) Наибольшее и наименьшее значения на промежутке [0;4]

  1. Найдём значения функции в критических точках и на концах промежутка:

    • F(0 = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 )
    • F(2 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 )
    • F(4 = 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20 )
  2. Сравним значения:

    • F(0 = 4 )
    • F(2 = 0 )
    • F(4 = 20 )

На промежутке [0;4]:

  • Наибольшее значение функции F(x = 20 ) при x=4.
  • Наименьшее значение функции F(x = 0 ) при x=2.

Таким образом, точки максимума и минимума функции:

  • Точка максимума: x=0
  • Точка минимума: x=2

Промежутки возрастания и убывания:

  • Возрастает на (,0 \cup 2, )
  • Убывает на (0,2 )

Наибольшее и наименьшее значения на промежутке [0;4]:

  • Наибольшее значение: 20 при x=4
  • Наименьшее значение: 0 при x=2

avatar
ответил 6 месяцев назад
0

a) Для нахождения точек максимума и минимума функции Fx необходимо найти её производную. F'x = 3x^2 - 6x. Далее решаем уравнение F'x = 0: 3x^2 - 6x = 0, x3x6 = 0, x = 0 или x = 2.

Подставляем найденные значения x в исходную функцию Fx: F0 = 0^3 - 30^2 + 4 = 4, F2 = 2^3 - 32^2 + 4 = 4. Таким образом, точки минимума и максимума функции Fx равны 0,4 и 2,4 соответственно.

б) Промежутки возрастания и убывания функции Fx определяются знаками производной. F'x > 0 на промежутке 0,2 и F'x < 0 на промежутке ,0 и 2,+. Следовательно, функция возрастает на интервалах 0,2 и убывает на интервалах ,0 и 2,+.

в) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции Fx на промежутке 0;4 необходимо найти значения функции в крайних точках и в точках экстремума. F0 = 4, F4 = 4^3 - 3*4^2 + 4 = 16. Таким образом, наибольшее значение функции Fx на промежутке 0;4 равно 16, наименьшее значение - 4.

avatar
ответил 6 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме