Дана функция f(x)=корень из -x^2+8x-7 Найдите:а) область определения; б)промежутки возрастания и убывания; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке(3;7)
Дана функция f(x)=корень из -x^2+8x-7 Найдите:а) область определения; б)промежутки возрастания и убывания; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке(3;7)
a) Для функции f(x)=√(-x^2+8x-7) область определения определяется условием подкоренного выражения. Так как корень из отрицательного числа не определен в действительных числах, необходимо найти условие, при котором -x^2+8x-7 ≥ 0. Решив это неравенство, получим область определения функции.
b) Для нахождения промежутков возрастания и убывания необходимо найти производную функции и решить неравенство f'(x) > 0 для возрастания и f'(x) < 0 для убывания.
c) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке (3;7) необходимо найти критические точки, которые являются экстремумами функции, и значения функции в этих точках, а также на концах отрезка.
После проведения всех вычислений можно найти ответы на данные вопросы.
Давайте последовательно разберем каждый пункт задачи для функции ( f(x) = \sqrt{-x^2 + 8x - 7} ).
Область определения функции ( f(x) ) задается условием, что подкоренное выражение ( -x^2 + 8x - 7 ) должно быть неотрицательным, то есть: [ -x^2 + 8x - 7 \geq 0 ]
Для нахождения корней квадратного трехчлена решим уравнение: [ -x^2 + 8x - 7 = 0 ] [ x^2 - 8x + 7 = 0 ]
Используем формулу для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] [ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} ] [ x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} ] [ x = \frac{8 \pm 6}{2} ] [ x = 7 \quad \text{или} \quad x = 1 ]
Таким образом, трехчлен ( -x^2 + 8x - 7 ) неотрицателен на отрезке ([1, 7]). Это и есть область определения функции ( f(x) ).
Функция ( f(x) = \sqrt{-x^2 + 8x - 7} ) является возрастающей там, где функция под корнем, ( -x^2 + 8x - 7 ), убывает, и наоборот. Рассмотрим функцию под корнем: [ g(x) = -x^2 + 8x - 7 ]
Первая производная ( g'(x) ): [ g'(x) = -2x + 8 ] Зададим ( g'(x) = 0 ): [ -2x + 8 = 0 ] [ x = 4 ]
Таким образом, функция ( g(x) ) возрастает на интервале ( [1, 4] ) и убывает на ( [4, 7] ). Следовательно, ( f(x) ) убывает на ( [1, 4] ) и возрастает на ( [4, 7] ).
Наименьшее значение функции ( f(x) ) на отрезке достигается в точке, где ( f(x) ) минимальна. Так как функция убывает на ([3, 4]) и возрастает на ([4, 7]), то минимальное значение будет в точке ( x = 4 ): [ f(4) = \sqrt{-(4)^2 + 8 \cdot 4 - 7} = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3 ]
Наибольшее значение на концах отрезка или в точке максимума внутри отрезка. Так как функция возрастает на ([4, 7]), то наибольшее значение будет в правом конце отрезка, то есть в точке ( x = 7 ): [ f(7) = \sqrt{-(7)^2 + 8 \cdot 7 - 7} = \sqrt{49 - 7} = \sqrt{42} ]
Таким образом, на отрезке ([3, 7]), наименьшее значение ( f(x) = 3 ) при ( x = 4 ), а наибольшее значение ( f(x) = \sqrt{42} ) при ( x = 7 ).
а) Область определения: D = {x | -x^2 + 8x - 7 ≥ 0} б) Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке (3; 4) и убывает на промежутке (4; 7) в) Наибольшее значение функции на отрезке (3;7): f(4) = 1; наименьшее значение функции на отрезке (3;7): f(7) = 1
