(Ctg 4П/3-3 tg 2П+ sin 11п/3) cos(-7п/6)

Давайте разберем выражение ((\cot(4\pi/3) - 3\tan(2\pi) + \sin(11\pi/3)) \cos(-7\pi/6)).

1. (\cot(4\pi/3)):

   [ \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} ]

   Угол (4\pi/3) находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому:

   [ \tan(4\pi/3) = \tan(\pi + \pi/3) = \tan(\pi/3) = \sqrt{3} ]

   Следовательно:

   [ \cot(4\pi/3) = \frac{1}{\tan(4\pi/3)} = -\frac{1}{\sqrt{3}} ]

2. (-3\tan(2\pi)):

   Поскольку тангенс имеет период (\pi), то:

   [ \tan(2\pi) = 0 ]

   Следовательно:

   [ -3\tan(2\pi) = 0 ]

3. (\sin(11\pi/3)):

   Сначала упростим угол. Поскольку синус имеет период (2\pi), мы можем вычесть (2\pi) несколько раз:

   [ 11\pi/3 - 6\pi/3 = 5\pi/3 ]

   Угол (5\pi/3) находится в четвертой четверти, где синус отрицателен:

   [ \sin(5\pi/3) = -\sin(\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

4. (\cos(-7\pi/6)):

   Косинус является четной функцией, поэтому:

   [ \cos(-\theta) = \cos(\theta) ]

   Угол (7\pi/6) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен:

   [ \cos(7\pi/6) = -\cos(\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

Теперь мы можем собрать все вместе:

[ (\cot(4\pi/3) - 3\tan(2\pi) + \sin(11\pi/3)) \cos(-7\pi/6) ]

[ = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}} + 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]

Упростим внутри скобок:

[ = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]

Приведём к общему знаменателю (2\sqrt{3}):

[ = \left(-\frac{2}{2\sqrt{3}} - \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\right) \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

[ = \left(-\frac{2 + 3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\right) \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

[ = \frac{2 + 3\sqrt{3}}{4} ]

Таким образом, окончательный ответ:

[ \frac{2 + 3\sqrt{3}}{4} ]

Для того чтобы вычислить данное выражение, сначала найдем значения тригонометрических функций в углах, которые заданы в радианах.

1. ctg(4π/3) = 1/tg(4π/3) = 1/(√3) = √3/3
2. tg(2π) = 0 (так как тангенс равен котангенсу при аргументе π)
3. sin(11π/3) = sin(3π + π/3) = sin(π/3) = √3/2
4. cos(-7π/6) = cos(π/6) = √3/2

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

(√3/3 - 30 + √3/2) (√3/2) = (√3/3 + √3/2) (√3/2) = √3/3 √3/2 + √3/2 * √3/2 = 3/6 + 3/4 = 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4

Итак, результат выражения (ctg(4π/3) - 3tg(2π) + sin(11π/3)) cos(-7π/6) равен 5/4.