Cos3x cos5x = sin3x sin5x

Для решения уравнения ( \cos(3x) \cos(5x) = \sin(3x) \sin(5x) ) можно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Сначала применим тождество для произведения косинусов и синусов:

[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A + B) + \cos(A - B)) ]

[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos(A - B) - \cos(A + B)) ]

Подставим ( A = 3x ) и ( B = 5x ) в эти формулы:

1. Для левой части:

[ \cos(3x) \cos(5x) = \frac{1}{2} (\cos(3x + 5x) + \cos(3x - 5x)) = \frac{1}{2} (\cos(8x) + \cos(-2x)) = \frac{1}{2} (\cos(8x) + \cos(2x)) ]

1. Для правой части:

[ \sin(3x) \sin(5x) = \frac{1}{2} (\cos(3x - 5x) - \cos(3x + 5x)) = \frac{1}{2} (\cos(-2x) - \cos(8x)) = \frac{1}{2} (\cos(2x) - \cos(8x)) ]

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

[ \frac{1}{2} (\cos(8x) + \cos(2x)) = \frac{1}{2} (\cos(2x) - \cos(8x)) ]

Умножим обе стороны на 2 для упрощения:

[ \cos(8x) + \cos(2x) = \cos(2x) - \cos(8x) ]

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

[ \cos(8x) + \cos(8x) + \cos(2x) - \cos(2x) = 0 ]

Это упрощается до:

[ 2\cos(8x) = 0 ]

Отсюда следует:

[ \cos(8x) = 0 ]

Решение уравнения ( \cos(8x) = 0 ) даёт:

[ 8x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Следовательно:

[ x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение уравнения ( \cos(3x) \cos(5x) = \sin(3x) \sin(5x) ) имеет вид:

[ x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Рассмотрим выражение:
cos(3x) cos(5x) = sin(3x) sin(5x).

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Тождество разности косинусов и синусов

Напомним, что для любых углов (a) и (b) выполняются следующие тригонометрические тождества:

[ \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b) + \cos(a+b) \right], ]

[ \sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b) - \cos(a+b) \right]. ]

Используем их для преобразования обеих сторон уравнения.

2. Левую часть: (\cos(3x)\cos(5x))

Подставляем тождество для произведения косинусов:

[ \cos(3x)\cos(5x) = \frac{1}{2} \left[ \cos(3x - 5x) + \cos(3x + 5x) \right]. ]

Упростим выражения внутри косинусов:

[ \cos(3x - 5x) = \cos(-2x) = \cos(2x), \quad \cos(3x + 5x) = \cos(8x). ]

Таким образом, левая часть равна:

[ \cos(3x)\cos(5x) = \frac{1}{2} \left[ \cos(2x) + \cos(8x) \right]. ]

3. Правую часть: (\sin(3x)\sin(5x))

Подставляем тождество для произведения синусов:

[ \sin(3x)\sin(5x) = \frac{1}{2} \left[ \cos(3x - 5x) - \cos(3x + 5x) \right]. ]

Упростим выражения внутри косинусов:

[ \cos(3x - 5x) = \cos(-2x) = \cos(2x), \quad \cos(3x + 5x) = \cos(8x). ]

Таким образом, правая часть равна:

[ \sin(3x)\sin(5x) = \frac{1}{2} \left[ \cos(2x) - \cos(8x) \right]. ]

4. Уравнение после преобразований

Теперь подставим преобразованные выражения для левой и правой частей в исходное уравнение:

[ \frac{1}{2} \left[ \cos(2x) + \cos(8x) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos(2x) - \cos(8x) \right]. ]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

[ \cos(2x) + \cos(8x) = \cos(2x) - \cos(8x). ]

5. Упростим уравнение

Вынесем (\cos(2x)) за скобки:

[ \cos(8x) + \cos(8x) +

Уравнение ( \cos(3x) \cos(5x) = \sin(3x) \sin(5x) ) можно преобразовать с помощью тригонометрических тождеств. Используя формулу для разности косинусов и синусов, получаем:

[ \cos(3x) \cos(5x) - \sin(3x) \sin(5x) = 0 ]

Это равносильно:

[ \cos(3x + 5x) = 0 ]

Таким образом, ( 3x + 5x = (2n + 1)\frac{\pi}{2} ), где ( n ) — целое число. Упрощая, получаем:

[ 8x = (2n + 1)\frac{\pi}{2} ]

Отсюда:

[ x = \frac{(2n + 1)\pi}{16} ]

Это решение уравнения.