.Cos2x+5sinx-3=0

Для решения уравнения (\cos(2x) + 5\sin(x) - 3 = 0), сначала упростим его, используя известные тригонометрические тождества.

Начнем с выражения (\cos(2x)) через (\sin(x)):

[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) ]

Подставим это в исходное уравнение:

[ 1 - 2\sin^2(x) + 5\sin(x) - 3 = 0 ]

Упростим уравнение:

[ -2\sin^2(x) + 5\sin(x) - 2 = 0 ]

Обозначим (\sin(x) = t). Тогда наше уравнение примет вид:

[ -2t^2 + 5t - 2 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение стандартным методом. Для этого найдем его дискриминант (D):

[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-2) = 25 - 16 = 9 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot -2} = \frac{-5 \pm 3}{-4} ]

Получаем два корня:

[ t_1 = \frac{-5 + 3}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} ] [ t_2 = \frac{-5 - 3}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2 ]

Теперь вернемся к переменной (\sin(x)):

[ \sin(x) = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \sin(x) = 2 ]

Заметим, что (\sin(x) = 2) не имеет решения, так как синус функции лежит в диапазоне от (-1) до (1).

Рассмотрим оставшийся корень (\sin(x) = \frac{1}{2}). Нам нужно найти все значения (x), при которых (\sin(x) = \frac{1}{2}).

Известно, что (\sin(x) = \frac{1}{2}) при:

[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{где } k \text{ - целое число} ]

Итак, общее решение уравнения (\cos(2x) + 5\sin(x) - 3 = 0) можно записать как:

[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{где } k \text{ - целое число} ]

Для решения уравнения cos(2x) + 5sin(x) - 3 = 0 нужно воспользоваться формулами тригонометрии. Сначала заметим, что cos(2x) = 1 - 2sin^2(x), поэтому уравнение можно переписать в виде 1 - 2sin^2(x) + 5sin(x) - 3 = 0.

Получаем квадратное уравнение относительно sin(x): -2sin^2(x) + 5sin(x) - 2 = 0. Далее его можно решить с помощью дискриминанта, так как это квадратное уравнение.

D = 5^2 - 4(-2)(-2) = 25 - 16 = 9. Таким образом, D > 0, следовательно, уравнение имеет два корня.

Подставим найденные значения sin(x) в исходное уравнение, чтобы найти значения x. Таким образом, решением данного уравнения будет два значения x, соответствующие найденным значениям sin(x).