! Cos2x+3sinx-2=0 Решите уравнение и найдите все корни, принадлежащие отрезку [П и пять пи на два]

Для решения уравнения ( \cos 2x + 3 \sin x - 2 = 0 ) начнем с того, что преобразуем выражение ( \cos 2x ). Используем формулу двойного угла: ( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x ). Тогда уравнение примет вид:

[ 1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0 ]

Упростим это уравнение:

[ -2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение относительно ( \sin x ). Для этого найдем дискриминант:

[ D = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 9 - 8 = 1 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ \sin x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{-4} = \frac{-3 \pm 1}{-4} ]

[ \sin x_1 = \frac{-3 + 1}{-4} = \frac{-2}{-4} = 0.5 ] [ \sin x_2 = \frac{-3 - 1}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 ]

Теперь рассмотрим каждый случай:

1. ( \sin x = 0.5 ). Углы, для которых синус равен 0.5, это ( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k ) и ( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k ), где ( k ) - целое число.

2. ( \sin x = 1 ). Это выполняется, когда ( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k ).

Теперь найдем корни, которые принадлежат отрезку ([ \pi, \frac{5\pi}{2} ]).

• Для ( \sin x = 0.5 ):

  • ( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k ): при ( k = 1 ), ( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} ), что принадлежит отрезку.
  • ( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k ): при ( k = 1 ), ( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} ), что также принадлежит отрезку.

• Для ( \sin x = 1 ):

  • ( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k ): при ( k = 1 ), ( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} ), что на границе отрезка.

Итак, корни уравнения, принадлежащие отрезку ([ \pi, \frac{5\pi}{2} ]), это ( \frac{13\pi}{6} ), ( \frac{17\pi}{6} ), и ( \frac{5\pi}{2} ).

cos2x+3sinx-2=0

cos2x = 1-2sin^2x

1-2sin^2x + 3sinx - 2 = 0

-2sin^2x + 3sinx - 1 = 0

2sin^2x - 3sinx + 1 = 0

(2sinx - 1)(sinx - 1) = 0

sinx = 1/2 или sinx = 1

Так как sinx = 1 имеет корни только вне указанного отрезка, рассмотрим sinx = 1/2

x = π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6

Для решения уравнения cos(2x) + 3sin(x) - 2 = 0 на отрезке [π, 5π/2] мы должны использовать тригонометрические тождества для преобразования уравнения.

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) (тригонометрическое тождество) Теперь подставим это выражение в исходное уравнение: 1 - 2sin^2(x) + 3sin(x) - 2 = 0

Преобразуем уравнение: -2sin^2(x) + 3sin(x) + 1 = 0

Теперь заменим sin(x) на t: -2t^2 + 3t + 1 = 0

Далее решим это квадратное уравнение: D = 3^2 - 4(-2)1 = 9 + 8 = 17

t1,2 = ( -3±√17) / -4

t1 = ( -3+√17) / -4 ≈ -0.24 t2 = ( -3-√17) / -4 ≈ 1.74

Теперь вернемся к sin(x): sin(x) = -0.24 или sin(x) = 1.74

Так как sin(x) лежит в интервале [-1, 1], первое уравнение не имеет решения, а второе уравнение имеет решение sin(x) = 1.74, что невозможно, так как sin(x) не может быть больше 1.

Следовательно, уравнение cos(2x) + 3sin(x) - 2 = 0 не имеет решений на отрезке [π, 5π/2].