Число 78 представьте в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны числам 1 и 3, а сумма квадратов этих трех чисел была наименьшей.
Число 78 представьте в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны числам 1 и 3, а сумма квадратов этих трех чисел была наименьшей.
Для решения этой задачи нам нужно найти три положительных числа (x), (y), и (z), такие что (x + y + z = 78) и (x) и (y) пропорциональны числам 1 и 3 соответственно. Это означает, что можно представить (x) и (y) как (x = k) и (y = 3k), где (k) — коэффициент пропорциональности.
Тогда уравнение суммы чисел можно переписать как: [ k + 3k + z = 78 ] [ 4k + z = 78 ]
Отсюда (z = 78 - 4k).
Теперь нам нужно минимизировать сумму квадратов этих трех чисел: [ S = k^2 + (3k)^2 + (78 - 4k)^2 ] [ S = k^2 + 9k^2 + (78 - 4k)^2 ] [ S = 10k^2 + (78 - 4k)^2 ] [ S = 10k^2 + (6084 - 624k + 16k^2) ] [ S = 26k^2 - 624k + 6084 ]
Для нахождения минимума этой функции найдем производную и приравняем ее к нулю: [ \frac{dS}{dk} = 52k - 624 = 0 ] [ 52k = 624 ] [ k = \frac{624}{52} = 12 ]
Подставим (k = 12) обратно в уравнения для (x), (y), и (z): [ x = k = 12 ] [ y = 3k = 36 ] [ z = 78 - 4k = 78 - 48 = 30 ]
Таким образом, числа 12, 36 и 30 удовлетворяют условиям задачи, и сумма их квадратов будет: [ 12^2 + 36^2 + 30^2 = 144 + 1296 + 900 = 2340 ]
Это минимальная сумма квадратов при данных условиях.
Пусть три числа, представляющие число 78, будут x, 3x и 1. Тогда сумма этих чисел будет равна 78: x + 3x + 1 = 78 => 4x = 77 => x = 19.25 Так как числа должны быть целыми, округлим x до 19. Тогда три числа будут 19, 57 и 1. Сумма квадратов этих чисел будет равна: 19^2 + 57^2 + 1^2 = 361 + 3249 + 1 = 3611 Таким образом, сумма 78 может быть представлена в виде 19, 57 и 1, где 19 и 57 пропорциональны числам 1 и 3, и сумма квадратов этих чисел будет наименьшей и равна 3611.
