Число 54 представлено в виде суммы трех положительных слагаемых. Первое в два раза больше второго. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим? Желательно с подробным решением!
Число 54 представлено в виде суммы трех положительных слагаемых. Первое в два раза больше второго. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим? Желательно с подробным решением!
Для решения задачи обозначим три положительных слагаемых следующим образом:
Сумма этих чисел равна 54: [ x + 2x + y = 54 ] [ 3x + y = 54 ]
Таким образом, выражение для ( y ) будет: [ y = 54 - 3x ]
Теперь нам нужно найти значения ( x ) и ( y ), которые максимизируют произведение этих трех чисел: [ P = x \cdot 2x \cdot y = 2x^2 \cdot y ]
Подставим ( y = 54 - 3x ) в выражение для произведения: [ P = 2x^2 (54 - 3x) ] [ P = 2x^2 \cdot 54 - 2x^2 \cdot 3x ] [ P = 108x^2 - 6x^3 ]
Теперь нам нужно найти максимум функции ( P(x) = 108x^2 - 6x^3 ). Для этого найдем производную функции и приравняем её к нулю: [ P'(x) = \frac{d}{dx}(108x^2 - 6x^3) ] [ P'(x) = 216x - 18x^2 ]
Приравняем производную к нулю: [ 216x - 18x^2 = 0 ] [ 18x(12 - x) = 0 ]
Отсюда получаем два решения: [ x = 0 ] [ x = 12 ]
Мы рассматриваем только положительные значения ( x ), поэтому ( x = 12 ).
Теперь найдем соответствующие значения других слагаемых: [ x = 12 ] [ 2x = 2 \cdot 12 = 24 ] [ y = 54 - 3 \cdot 12 = 54 - 36 = 18 ]
Таким образом, три слагаемых, при которых их произведение будет максимальным, равны 12, 24 и 18.
Проверим произведение: [ P = 12 \cdot 24 \cdot 18 ] [ P = 12 \cdot 432 ] [ P = 5184 ]
Таким образом, наибольшее произведение этих трех чисел достигается, когда числа равны 12, 24 и 18.
Пусть первое слагаемое равно 2х, второе слагаемое равно х, третье слагаемое равно у. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:
2х + х + у = 54, 3х + у = 54, y = 54 - 3x.
Теперь найдем произведение этих слагаемых:
P = 2х х (54 - 3x), P = 2x^2 * (54 - 3x).
Для нахождения максимума произведения необходимо продифференцировать уравнение по x и приравнять к нулю:
dP/dx = 4x(54 - 3x) - 6x^2, 0 = 4x(54 - 3x) - 6x^2, 0 = 216x - 12x^2 - 6x^2, 0 = 216x - 18x^2, 18x^2 = 216x, x = 12.
Таким образом, первое слагаемое равно 24, второе - 12, третье - 18. Эти числа обеспечат наибольшее произведение.
Пусть первое слагаемое равно 2x, второе - x, третье - 54 - 3x. Тогда произведение слагаемых равно P = 2x x (54 - 3x). Найдем производную от P по x и приравняем ее к нулю: P'(x) = 2(108 - 6x) = 0 108 - 6x = 0 6x = 108 x = 18 Таким образом, первое слагаемое равно 2 18 = 36, второе - 18, третье - 54 - 3 18 = 0. Итак, чтобы произведение было наибольшим, слагаемые должны быть равны 36, 18 и 0.
