Число 18 представьте в виде суммы трех положительных чисел так, что первое число относится ко второму...

Пусть первое число равно 8x, второе число - 3x, третье число - y. Тогда у нас есть система уравнений: 8x + 3x + y = 18 x = 8/3y

Подставляем значение x в первое уравнение: 8(8/3)y + 3(8/3)y + y = 18 64y/3 + 8y + y = 18 64y/3 + 8y + 3y = 18 64y + 24y + 9y = 54 97y = 54 y = 54 / 97

Таким образом, получаем: первое число = 8 54 / 97 = 432 / 97 второе число = 3 54 / 97 = 162 / 97 третье число = 54 / 97

Сумма кубов этих чисел: (432 / 97)^3 + (162 / 97)^3 + (54 / 97)^3 = 389017568 / 912673 Это минимальное значение суммы кубов трех чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Для решения этой задачи необходимо найти такие три положительных числа ( x ), ( y ) и ( z ), чтобы выполнялись следующие условия:

1. ( x + y + z = 18 )
2. ( \frac{x}{y} = \frac{8}{3} )
3. Сумма кубов ( x^3 + y^3 + z^3 ) минимальна.

Начнем с условия (\frac{x}{y} = \frac{8}{3}). Из этого следует, что:

[ x = \frac{8}{3}y ]

Теперь подставим это в первое уравнение:

[ \frac{8}{3}y + y + z = 18 ]

Объединим подобные члены:

[ \frac{11}{3}y + z = 18 ]

Решим это уравнение относительно ( z ):

[ z = 18 - \frac{11}{3}y ]

Теперь нам нужно минимизировать выражение для суммы кубов:

[ x^3 + y^3 + z^3 = \left(\frac{8}{3}y\right)^3 + y^3 + \left(18 - \frac{11}{3}y\right)^3 ]

Раскроем скобки:

[ \left(\frac{8}{3}y\right)^3 = \frac{512}{27}y^3 ]

[ \left(18 - \frac{11}{3}y\right)^3 = (18 - \frac{11}{3}y)^3 ]

Для упрощения вычислений и минимизации этого выражения, используем метод множителей Лагранжа или метод нахождения экстремумов функции нескольких переменных. Однако, в данном конкретном случае проще воспользоваться симметрией задачи и методом подбора.

Заметим, что для минимизации суммы кубов, в общем случае, числа должны быть как можно ближе друг к другу по величине. Из условия задачи у нас уже есть отношение между ( x ) и ( y ). Подставим ( x = \frac{8}{3}y ) в уравнение и подберем значения, чтобы ( x ), ( y ), и ( z ) были как можно ближе.

Рассмотрим конкретные значения:

1. ( y = 3 ), тогда ( x = \frac{8}{3} \times 3 = 8 )
2. Подставим в уравнение для ( z ): ( z = 18 - 8 - 3 = 7 )

Теперь проверим минимизацию:

[ x^3 + y^3 + z^3 = 8^3 + 3^3 + 7^3 = 512 + 27 + 343 = 882 ]

Таким образом, числа ( x = 8 ), ( y = 3 ), и ( z = 7 ) дают минимальную сумму кубов при заданных условиях.